GeoЛинейная алгебра и геометрия
Классический курс линейной алгебры с полными доказательствами, но через геометрию. Каждая большая теорема здесь отвечает на вопрос «к какому простому виду можно привести любой объект и что при этом не меняется»: ранг, жорданова форма, индексы инерции, спектральная теорема. Отсюда естественно вырастают евклидова, симплектическая и псевдоевклидова геометрии и линейные группы, без которых не обходится физика. Курс пишется: уроки будут появляться постепенно.
Что нужно знать
- Матрицы, определители, метод Гаусса и ранг матрицы: курс считает их знакомыми.
- Комплексные числа: арифметика, модуль и аргумент, тригонометрическая форма.
- Привычка читать доказательства.
Чем может помочь
- Тем, кто линал сдал, но не понял: увидеть, что стоит за жордановой формой, формами и спектральной теоремой.
- Физикам: билинейные формы, пространство Минковского, группы SO(3), SU(2) и группа Лоренца.
- Data science: проекции, МНК, спектральное разложение и SVD как геометрия.
- Дальнейшей математике: дифференциальная геометрия, группы Ли, проективная геометрия.
Темы курса
- Пространства и отображения — пространства, факторпространства, двойственность, ранг как единственный инвариант
- Линейные операторы — операторы: собственные векторы, жорданова форма и форма Фробениуса, экспонента
- Аффинная и евклидова геометрия — аффинная и евклидова геометрия, Грам–Шмидт, проекции и объём
- Операторы в евклидовых пространствах — самосопряжённые, ортогональные и нормальные операторы, отражения, SVD
- Билинейные формы — билинейные формы, закон инерции, симплектические и псевдоевклидовы пространства
- Линейные группы — линейные группы как стабилизаторы структур, сферы и грассманианы
- Группы Ли и физика — алгебры Ли, кватернионы, SU(2) → SO(3) и спин, группа Лоренца
- Тензоры и внешняя алгебра — тензоры, внешняя алгебра, определитель через внешнюю степень
Оглавление
Модуль 1 Пространства и отображения
- 1.1 Векторное пространство, подпространства, примеры черновик ✎
- 1.2 Базис, размерность, координаты и их замена скоро + написать
- 1.3 Сумма, пересечение, прямая сумма скоро + написать
- 1.4 Факторпространство скоро + написать
- 1.5 Линейные отображения, ядро и образ, матрица отображения скоро + написать
- 1.6 Ранг как единственный инвариант. Почему линейная геометрия бедная скоро + написать
- 1.7 Двойственное пространство и сопряжённое отображение скоро + написать
Модуль 2 Линейные операторы
- 2.1 Матрица оператора и сопряжение. Определитель и след, группы GL и SL скоро + написать
- 2.2 Инвариантные подпространства, собственные векторы, проекторы скоро + написать
- 2.3 Многочлены от оператора, теорема Гамильтона–Кэли скоро + написать
- 2.4 Диагонализуемость скоро + написать
- 2.5 Нильпотентные операторы и диаграммы Юнга скоро + написать
- 2.6 Корневое разложение и жорданова нормальная форма скоро + написать
- 2.7 Жорданова форма и форма Фробениуса как классификация операторов скоро + написать
- 2.8 Овеществление и комплексификация скоро + написать
- 2.9 Экспонента оператора скоро + написать
Модуль 3 Аффинная и евклидова геометрия
- 3.1 Аффинные пространства и аффинная группа скоро + написать
- 3.2 Евклидовы и эрмитовы пространства скоро + написать
- 3.3 Ортонормированные базисы, Грам–Шмидт, QR скоро + написать
- 3.4 Ортогональная проекция и метод наименьших квадратов скоро + написать
- 3.5 Определитель Грама и объём скоро + написать
- 3.6 Движения евклидова пространства скоро + написать
Модуль 4 Операторы в евклидовых пространствах
- 4.1 Сопряжённый оператор скоро + написать
- 4.2 Самосопряжённые операторы и спектральная теорема скоро + написать
- 4.3 Кососимметрические операторы скоро + написать
- 4.4 Ортогональные и унитарные операторы скоро + написать
- 4.5 Отражения и разложения групп скоро + написать
- 4.6 Нормальные операторы скоро + написать
- 4.7 Полярное разложение и SVD скоро + написать
Модуль 5 Билинейные формы
- 5.1 Билинейные формы и их матрицы скоро + написать
- 5.2 Симметрические и квадратичные формы скоро + написать
- 5.3 Закон инерции и критерий Сильвестра скоро + написать
- 5.4 Эрмитовы формы скоро + написать
- 5.5 Пара форм скоро + написать
- 5.6 Симплектические пространства скоро + написать
- 5.7 Псевдоевклидовы пространства и пространство Минковского скоро + написать
- 5.8 Три структуры: метрика, симплектическая форма, комплексная структура скоро + написать
Модуль 6 Линейные группы
- 6.1 Галерея линейных групп скоро + написать
- 6.2 Группы как многообразия скоро + написать
- 6.3 Однородные пространства: сферы и грассманианы скоро + написать
Модуль 7 Группы Ли и физика
- 7.1 Касательное пространство, экспонента, алгебра Ли скоро + написать
- 7.2 Кватернионы и SU(2) скоро + написать
- 7.3 SU(2) → SO(3) и спин скоро + написать
- 7.4 Группа Лоренца скоро + написать
Модуль 8 Тензоры и внешняя алгебра
- 8.1 Полилинейные функции и тензорное произведение скоро + написать
- 8.2 Индексы и свёртка скоро + написать
- 8.3 Внешняя алгебра скоро + написать
- 8.4 Определитель через внешнюю степень скоро + написать