Векторное пространство, подпространства, примеры · Линейная алгебра и геометрия

В школе вектор обычно — это стрелка. В первом курсе вектор чаще всего — столбец чисел. Оба представления полезны, но они легко заслоняют главное: линейная алгебра (как и вообще высшая алгебра) изучает не сами стрелки и столбцы, а операции над ними. Вектор — это всё, что можно складывать и умножать на число по привычным правилам.

Зачем такая абстракция? Затем, что одинаково устроены очень разные вещи: стрелки на плоскости, многочлены, функции, решения однородной системы уравнений, решения некоторых дифференциальных уравнений. Если доказать теорему один раз для «чего угодно, что складывается и умножается», она сработает для всех них сразу.

При этом от стрелок мы не отказываемся, наоборот. Определения и доказательства будут опираться только на операции, но почти каждую идею курса мы будем сначала рисовать на плоскости или в пространстве. Стрелки — лучший способ понять, что происходит, даже когда векторы на самом деле многочлены или функции: интуиция с картинки почти всегда переносится на них без изменений.

Но сначала нужно договориться, на что именно мы умножаем.

Поле: на что умножаем векторы

Числа, на которые умножаются векторы, должны сами вести себя прилично: их нужно уметь складывать, вычитать, умножать и, что важно, делить на всё, кроме нуля. Такой набор называется полем.

Определение (поле).

Поле — это множество $\mathbb{K}$ с операциями сложения и умножения, в котором выполняются привычные правила арифметики: обе операции коммутативны и ассоциативны, умножение дистрибутивно относительно сложения, есть $0$ и $1$ (и $0 \ne 1$ ), у каждого элемента есть противоположный, а у каждого ненулевого — обратный.

Аксиомы поля полностью

Для любых $a, b, c \in \mathbb{K}$ :

$a + b = b + a$ , $\quad (a + b) + c = a + (b + c)$ ;
есть $0$ , для которого $a + 0 = a$ ;
для каждого $a$ есть $-a$ , для которого $a + (-a) = 0$ ;
$ab = ba$ , $\quad (ab)c = a(bc)$ ;
есть $1 \ne 0$ , для которой $1 \cdot a = a$ ;
для каждого $a \ne 0$ есть $a^{-1}$ , для которого $a a^{-1} = 1$ ;
$a(b + c) = ab + ac$ .

Знакомые поля — это рациональные числа $\mathbb{Q}$ , действительные $\mathbb{R}$ и комплексные $\mathbb{C}$ . А вот целые числа $\mathbb{Z}$ полем не являются: у числа $2$ нет целого обратного.

Чтобы не думать, что поле — это обязательно «какие-то числа», посмотрим на самое маленькое поле из возможных: $\mathbb{F}_2 = \{0, 1\}$ . Складываем и умножаем как обычно, но с одной поправкой: $1 + 1 = 0$ . Можно думать о нём как об арифметике чётности: $0$ — «чётное», $1$ — «нечётное», и «нечётное плюс нечётное равно чётному». Все аксиомы выполняются, хотя это совсем не похоже на числовую прямую.

Задача. Какие из множеств с обычными операциями являются полями?

$\mathbb{Z}$
$\mathbb{Q}$
$\{\, a + b\sqrt{2} : a, b \in \mathbb{Q} \,\}$
остатки от деления на $4$ : $\{0, 1, 2, 3\}$
остатки от деления на $5$ : $\{0, 1, 2, 3, 4\}$

Разбор

В $\mathbb{Z}$ нельзя поделить на $2$ . Для чисел $a + b\sqrt{2}$ обратный находится домножением на сопряжённое: $\dfrac{1}{a + b\sqrt2} = \dfrac{a - b\sqrt2}{a^2 - 2b^2}$ , и знаменатель не ноль, потому что $\sqrt2$ иррационален. Среди остатков по модулю $4$ у двойки нет обратного: $2 \cdot 2 = 4 = 0$ , а при делении на ноль поле ломается. По модулю $5$ обратные есть у всех ненулевых: $2 \cdot 3 = 6 = 1$ , $4 \cdot 4 = 16 = 1$ . Вообще, остатки по модулю $p$ образуют поле ровно тогда, когда $p$ простое.

Договорённость на весь курс. Буква $\mathbb{K}$ дальше всегда означает поле, и почти везде можно думать, что это $\mathbb{R}$ или $\mathbb{C}$ . Большинство теорем первых глав верны над любым полем, и мы будем отдельно отмечать, где это не так. Таких мест немного, но они важные:

жорданова форма требует, чтобы у многочленов хватало корней, поэтому над $\mathbb{C}$ она есть всегда, а над $\mathbb{R}$ нет;
закон инерции квадратичных форм живёт над $\mathbb{R}$ : ему нужно понятие «положительного»;
в полях, где $1 + 1 = 0$ (как в $\mathbb{F}_2$ ), перестают различаться симметрические и кососимметрические формы, и часть теории приходится переделывать.

Векторное пространство

Определение (векторное пространство).

Векторное (линейное) пространство над полем $\mathbb{K}$ — это множество $V$ , на котором заданы сложение $u + v \in V$ и умножение на число $\lambda v \in V$ ( $\lambda \in \mathbb{K}$ ), и для любых $u, v, w \in V$ , $\lambda, \mu \in \mathbb{K}$ выполнены восемь аксиом:

$u + v = v + u$ ;
$(u + v) + w = u + (v + w)$ ;
есть нулевой вектор $0$ , для которого $v + 0 = v$ ;
для каждого $v$ есть противоположный $-v$ , для которого $v + (-v) = 0$ ;
$1 \cdot v = v$ ;
$\lambda(\mu v) = (\lambda\mu) v$ ;
$(\lambda + \mu) v = \lambda v + \mu v$ ;
$\lambda(u + v) = \lambda u + \lambda v$ .

Первые четыре аксиомы говорят, что векторы складываются «как числа». Последние четыре — что умножение на скаляры согласовано со сложением и с арифметикой поля.

Заметьте, чего в определении нет. Векторы нельзя умножать друг на друга. У них нет длины и нет углов между ними. Нет даже выделенных «координат». Всё это либо появится позже как дополнительная структура (скалярное произведение в главе 3), либо не появится вовсе. Вся линейная алгебра первых двух глав строится только на сложении и умножении на число.

Из аксиом выводятся свойства, которые кажутся очевидными. Но их всё-таки нужно вывести: очевидными они кажутся только потому, что мы привыкли к числам.

Утверждение.

Для любого $v \in V$ и $\lambda \in \mathbb{K}$ : $\quad 0 \cdot v = 0, \qquad \lambda \cdot 0 = 0, \qquad (-1) \cdot v = -v.$

Доказательство

По аксиоме 7: $0 \cdot v = (0 + 0) v = 0 \cdot v + 0 \cdot v$ . Прибавим к обеим частям $-(0 \cdot v)$ и получим $0 = 0 \cdot v$ .

Аналогично по аксиоме 8: $\lambda \cdot 0 = \lambda(0 + 0) = \lambda \cdot 0 + \lambda \cdot 0$ , откуда $\lambda \cdot 0 = 0$ .

Наконец, $v + (-1)v = 1 \cdot v + (-1) v = (1 + (-1)) v = 0 \cdot v = 0$ . Значит, $(-1)v$ противоположен к $v$ . Противоположный вектор единственный: если $v + w = 0$ и $v + w' = 0$ , то $w = w + (v + w') = (w + v) + w' = w'$ . Поэтому $(-1)v = -v$ .

Примеры

Самое важное в этом уроке — увидеть, сколько разных вещей подходят под одно определение.

Стрелки. Векторы на плоскости или в пространстве, отложенные от одной точки, над $\mathbb{R}$ . С них всё началось.
Строки и столбцы. $\mathbb{K}^n$ — наборы $(x_1, \dots, x_n)$ , которые складываются и умножаются на число покоординатно. Это «стандартное» пространство, и позже мы увидим, что в конечномерном случае любое пространство на него похоже.
Матрицы. Матрицы $m \times n$ с покоординатными операциями. Тут умножение матриц друг на друга существует, но для структуры векторного пространства оно не нужно.
Многочлены. $\mathbb{K}[x]$ — все многочлены с коэффициентами из $\mathbb{K}$ . И $\mathbb{K}[x]_{\le n}$ — многочлены степени не выше $n$ .
Функции. Все функции $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , а также непрерывные или дифференцируемые: $(f + g)(x) = f(x) + g(x)$ , $(\lambda f)(x) = \lambda f(x)$ .
Решения уравнений. Решения однородной системы $Ax = 0$ . Решения дифференциального уравнения $y'' + y = 0$ : сумма двух решений снова решение, и решение, умноженное на число, тоже.
Последовательности. Все последовательности $(a_1, a_2, \dots)$ чисел из $\mathbb{K}$ , или только сходящиеся, или только удовлетворяющие $a_{n+2} = a_{n+1} + a_n$ (как числа Фибоначчи).

Отдельно про роль поля. Комплексные числа $\mathbb{C}$ — это пространство над $\mathbb{C}$ (умножаем на комплексные числа) и одновременно пространство над $\mathbb{R}$ (умножаем только на действительные). Множество одно, а пространства разные: скоро мы увидим, что у первого размерность $1$ , а у второго $2$ . Поэтому всегда важно говорить, над каким полем рассматривается пространство.

Задача. Какие множества с обычными операциями являются векторными пространствами над $\mathbb{R}$ ?

многочлены степени не выше $3$
многочлены степени ровно $3$
функции $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ с $f(0) = 0$
функции $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ с $f(0) = 1$
векторы плоскости с целыми координатами
последовательности, у которых $a_{n+2} = a_{n+1} + a_n$ при всех $n$

Разбор

Многочлены степени ровно $3$ не годятся: $(x^3 + x) + (-x^3) = x$ , степень упала. Кроме того, там нет нуля. Функции с $f(0) = 1$ тоже без нуля, и сумма двух таких имеет $f(0) = 2$ . Векторы с целыми координатами нельзя умножить на $\tfrac12$ . Последовательности Фибоначчи складываются и умножаются на число, не нарушая соотношения, потому что оно линейное.

Напоследок пример, который показывает, насколько определение не привязано к «обычным» операциям.

Задача (странные операции).

Пусть $V = \mathbb{R}_{>0}$ — положительные числа. Определим «сложение» как обычное умножение, $u \oplus v = uv$ , а «умножение на число» как возведение в степень, $\lambda \odot v = v^{\lambda}$ . Проверьте, что это векторное пространство над $\mathbb{R}$ . Что в нём играет роль нулевого вектора и противоположного?

Решение

Все аксиомы сводятся к свойствам степеней: например, аксиома 7 превращается в $v^{\lambda + \mu} = v^\lambda v^\mu$ , а аксиома 8 в $(uv)^\lambda = u^\lambda v^\lambda$ . Нулевой вектор — число $1$ , потому что $v \oplus 1 = v \cdot 1 = v$ . Противоположный к $v$ — это $1/v$ .

На самом деле это пространство «то же самое», что обычная прямая $\mathbb{R}$ : логарифм переводит $\oplus$ в $+$ и $\odot$ в обычное умножение, $\ln(uv) = \ln u + \ln v$ , $\ln(v^\lambda) = \lambda \ln v$ . Такие отождествления называются изоморфизмами, и о них мы ещё поговорим.

Подпространства

Почти все примеры выше жили внутри чего-то большего: многочлены степени $\le 3$ внутри всех многочленов, непрерывные функции внутри всех функций, решения $Ax = 0$ внутри $\mathbb{K}^n$ . Это частый сюжет, и у него есть имя.

Определение (подпространство).

Подмножество $U \subset V$ называется (линейным) подпространством, если оно само является векторным пространством относительно тех же операций.

Проверять все восемь аксиом заново не нужно. Они и так выполняются для всех векторов $V$ , а значит, и для векторов $U$ . Нужно только, чтобы операции не выводили из $U$ .

Утверждение (критерий подпространства).

Непустое подмножество $U \subset V$ является подпространством тогда и только тогда, когда для любых $u, w \in U$ и $\lambda \in \mathbb{K}$

u + w \in U \quad\text{и}\quad \lambda u \in U .

Доказательство

Если $U$ — подпространство, обе операции не выводят из $U$ по определению.

Обратно, пусть $U$ замкнуто относительно обеих операций. Аксиомы 1, 2, 5–8 — это равенства, которые верны для всех векторов $V$ , а значит, и для векторов из $U$ . Осталось проверить, что в $U$ есть ноль и противоположные. Возьмём любой $u \in U$ (он есть, так как $U$ непусто). Тогда $0 = 0 \cdot u \in U$ и $-u = (-1) \cdot u \in U$ по предложению выше.

Из доказательства видно полезное следствие: подпространство всегда содержит ноль. Это самый быстрый способ увидеть, что что-то подпространством не является.

На плоскости подпространства — это только сам ноль, прямые через ноль и вся плоскость. В пространстве добавляются плоскости через ноль. Прямая, которая не проходит через ноль, подпространством не является. Но она устроена почти так же: это подпространство, сдвинутое на вектор. Такие множества называются аффинными подпространствами, и ими мы займёмся в главе 3. Например, решения неоднородной системы $Ax = b$ — это аффинное подпространство: одно частное решение плюс все решения однородной системы $Ax = 0$ .

Задача. Какие подмножества $\mathbb{R}^3$ являются подпространствами?

$\{\, x + y + z = 0 \,\}$
$\{\, x + y + z = 1 \,\}$
$\{\, x = y = z \,\}$
$\{\, xy = 0 \,\}$
$\{\, x \ge 0 \,\}$

Разбор

Плоскость $x + y + z = 1$ не содержит нуля. Множество $xy = 0$ — это объединение двух плоскостей $x = 0$ и $y = 0$ . Каждая из них подпространство, но вектор $(1, 0, 0) + (0, 1, 0) = (1, 1, 0)$ уже не лежит ни в одной. Полупространство $x \ge 0$ не выдерживает умножения на $-1$ . А прямая $x = y = z$ — это все векторы вида $t(1, 1, 1)$ , она подпространство.

Пример с $xy = 0$ показывает общее явление: объединение подпространств обычно не подпространство. С пересечением всё в порядке.

Утверждение.

Пересечение любого набора подпространств — подпространство.

Доказательство

Ноль лежит в каждом подпространстве, значит, и в пересечении. Если $u, w$ лежат в пересечении, то они лежат в каждом из подпространств. Тогда и $u + w$ , и $\lambda u$ лежат в каждом из них, а значит, и в пересечении.

Задача.

Докажите, что объединение двух подпространств $U \cup W$ является подпространством тогда и только тогда, когда одно из них содержится в другом.

Подсказка

Если ни одно не содержится в другом, возьмите $u \in U \setminus W$ и $w \in W \setminus U$ и посмотрите, где может лежать $u + w$ .

Решение

Если $U \subset W$ , то $U \cup W = W$ , это подпространство. Обратно, пусть ни одно не содержится в другом: есть $u \in U \setminus W$ и $w \in W \setminus U$ . Если бы $u + w \in U$ , то $w = (u + w) - u \in U$ , противоречие. Если бы $u + w \in W$ , то $u = (u + w) - w \in W$ , тоже противоречие. Значит, $u + w \notin U \cup W$ , и объединение не замкнуто относительно сложения.

Раз объединение не годится, естественно спросить: какое самое маленькое подпространство содержит и $U$ , и $W$ ? Ответ — их сумма $U + W$ , и это тема урока 1.3. А в следующем уроке мы научимся описывать подпространства (и всё пространство) экономно: через базис.