GeoВведение в топологию
Топология начинается с простого наблюдения: чтобы говорить о непрерывности и пределах, не нужны ни ε, ни δ, ни даже расстояния. Нужно только знать, какие множества «открыты». В этом курсе каждое определение появляется после того, как вы уже увидели явление на картинке или в интерактиве. Доказательства в два слоя: короткая схема и полное. Курс пишется: открытые уроки уже можно читать, остальные появятся постепенно.
Что нужно знать
- Матанализ первого семестра: пределы, непрерывность, ε-δ. Достаточно уровня «проходил и помню, что это такое».
- Базовый язык множеств: объединение, пересечение, образ и прообраз.
- Понятие мощности множества, счётные и континуальные множества
- Привычка читать доказательства.
Чем может помочь
- Понять, что на самом деле стояло за определениями из матана, и почему они именно такие.
- Функциональный анализ: полные и нормированные пространства, теорема Бэра, компактность в пространствах функций.
- Дифференциальные уравнения: существование решений через сжимающие отображения и теорему Пеано.
- Анализ данных: метрики и ультраметрики в кластеризации, топологический анализ данных.
Темы курса
- От анализа к топологии — непрерывность и пределы без ε и δ, метрики, определение топологии, хаусдорфовость
- Язык общей топологии — база, замыкание и граница, подпространства, гомеоморфизм, аксиомы счётности
- Компактность и склейки — произведения, компактность, фактор-пространства: сфера, тор, лента Мёбиуса, бутылка Клейна
- Связность — связность и линейная связность, классификация букв
- Полные пространства и пространства функций — полнота, теорема Бэра, сжимающие отображения, нормы, теорема Арцела–Асколи
- Что дальше: алгебраическая топология — эйлерова характеристика, петли, теорема Брауэра
Оглавление
Модуль 1 От анализа к топологии
Модуль 2 Язык общей топологии
Модуль 3 Компактность и склейки
Модуль 4 Связность
- 4.1 Связность скоро + написать
- 4.2 Линейная связность скоро + написать
Модуль 5 Полные пространства и пространства функций
- 5.1 Полнота и пополнение скоро + написать
- 5.2 Теорема Бэра скоро + написать
- 5.3 Сжимающие отображения скоро + написать
- 5.4 Нормы: конечномерный и бесконечномерный мир скоро + написать
- 5.5 Компактность в пространстве функций скоро + написать
Модуль 6 Что дальше: алгебраическая топология
- 6.1 Эйлерова характеристика скоро + написать
- 6.2 Петли и теорема Брауэра скоро + написать