Нормальные пространства и лемма Урысона · Введение в топологию

В уроке про определение топологии (1.5) мы построили лестницу аксиом отделимости $T_0$ , $T_1$ , $T_2$ : насколько хорошо открытые множества различают две точки. И пообещали следующие ступеньки, $T_3$ и $T_4$ , где отделяются уже не точки, а точка от замкнутого множества или два замкнутых множества друг от друга.

Зачем отделять множества? Вот задача, которая встречается постоянно. На плоскости даны два непересекающихся замкнутых множества $A$ и $B$ . Нужна непрерывная функция, равная $0$ на $A$ и $1$ на $B$ . На плоскости её легко написать формулой через расстояния, мы это скоро сделаем.

А если пространство абстрактное, и метрики нет? Формул тогда нет, есть только открытые множества. Непонятно, откуда вообще взять хоть одну непрерывную функцию, кроме постоянных. Главный результат урока, лемма Урысона, отвечает: достаточно уметь разделять замкнутые множества окрестностями, и функция найдётся. А компактность поставит такие пространства на поток: любое компактное хаусдорфово пространство подходит.

Отделение множеств

Напомним две ступеньки из урока про определение топологии (1.5). Пусть $x \ne y$ — точки пространства $X$ .

$X$ — $T_1$ -пространство, если у каждой из точек есть окрестность, не содержащая другую. Равносильно: каждая точка $\{x\}$ замкнута.
$X$ — $T_2$ -пространство, или хаусдорфово, если у точек есть непересекающиеся окрестности.

Хаусдорфовость отделяет точку $x$ от точки $y$ . В $T_1$ -пространстве точка $\{y\}$ — замкнутое множество, и естественный следующий шаг — отделять $x$ от любого замкнутого множества. А потом и два замкнутых множества друг от друга.

Определение (регулярные и нормальные пространства).

Пусть $X$ — $T_1$ -пространство.

$X$ регулярно, или $T_3$ -пространство, если для любой точки $x$ и замкнутого множества $F \not\ni x$ найдутся непересекающиеся открытые $U \ni x$ и $V \supset F$ .
$X$ нормально, или $T_4$ -пространство, если для любых непересекающихся замкнутых $A$ и $B$ найдутся непересекающиеся открытые $U \supset A$ и $V \supset B$ .

Требование $T_1$ в определении не случайно. Без него условия становятся бессодержательными. В антидискретном пространстве замкнуты только $\varnothing$ и $X$ , и разделять просто нечего. Формально оно удовлетворяет условию из $T_4$ , но точки в нём не различаются вовсе.

С $T_1$ точки замкнуты, и лестница продолжается:

T_4 \Rightarrow T_3 \Rightarrow T_2 \Rightarrow T_1 \Rightarrow T_0.

Нормальное пространство регулярно: точка $\{x\}$ — замкнутое множество, его можно отделить от $F$ как от любого другого. Регулярное хаусдорфово: точка $\{y\}$ — замкнутое множество.

Полезно переформулировать отделимость на языке одного множества, без второго. Тогда окрестность $V$ «помещается с запасом»: вместе с замыканием.

Утверждение (отделимость через замыкания).

$T_1$ -пространство $X$ нормально тогда и только тогда, когда для любого замкнутого $A$ и открытого $W \supset A$ найдётся открытое $V$ , для которого

A \subset V \subset \overline{V} \subset W.

Аналогично $X$ регулярно тогда и только тогда, когда то же верно для точки $A = \{x\}$ .

Доказательство

Пусть $X$ нормально, $A \subset W$ . Множество $B = X \setminus W$ замкнуто и не пересекается с $A$ . Возьмём непересекающиеся открытые $V \supset A$ и $V' \supset B$ . Тогда $V \subset X \setminus V'$ , а $X \setminus V'$ замкнуто. Значит, $\overline{V} \subset X \setminus V' \subset X \setminus B = W$ .

Обратно, пусть $A$ и $B$ замкнуты и не пересекаются. Положим $W = X \setminus B$ и найдём $V$ с $A \subset V \subset \overline{V} \subset W$ . Тогда $V \supset A$ и $X \setminus \overline{V} \supset B$ — непересекающиеся открытые множества.

Для регулярности рассуждение то же, только вместо $A$ точка.

Задача. Какие утверждения верны?

Дискретное пространство нормально
Прямая с топологией конечных дополнений регулярна
Нормальное пространство хаусдорфово
Антидискретное пространство на двух точках нормально

Разбор

В дискретном пространстве все множества открыты, и можно взять $U = A$ , $V = B$ . Точки тоже замкнуты, так что $T_1$ есть.

Топология конечных дополнений не хаусдорфова (урок про определение топологии, 1.5), а регулярное пространство хаусдорфово.

Нормальное пространство регулярно, а регулярное хаусдорфово.

В антидискретном пространстве нарушена $T_1$ , а она входит в определение.

Метрические пространства нормальны

Вернёмся к задаче из начала. Пусть $X$ — метрическое пространство. Расстояние от точки до множества $A \ne \varnothing$ — это

\rho(x, A) = \inf_{a \in A} \rho(x, a).

У него два свойства, которые нам нужны.

Утверждение (расстояние до множества).

$|\rho(x, A) - \rho(y, A)| \le \rho(x, y)$ . В частности, функция $x \mapsto \rho(x, A)$ непрерывна.
$\rho(x, A) = 0$ тогда и только тогда, когда $x \in \overline{A}$ .

Доказательство

Для любой $a \in A$ по неравенству треугольника $\rho(x, A) \le \rho(x, a) \le \rho(x, y) + \rho(y, a)$ . Возьмём инфимум по $a$ : $\rho(x, A) \le \rho(x, y) + \rho(y, A)$ . Поменяв $x$ и $y$ местами, получим нужное неравенство. Непрерывность отсюда сразу: если $\rho(x, y) < \varepsilon$ , то значения отличаются меньше чем на $\varepsilon$ .
$\rho(x, A) = 0$ значит, что в каждом шаре $B(x, \varepsilon)$ есть точки $A$ . Это и есть $x \in \overline{A}$ .

Теперь функция. Пусть $A$ и $B$ замкнуты, непусты и не пересекаются. Положим

f(x) = \frac{\rho(x, A)}{\rho(x, A) + \rho(x, B)}.

Знаменатель не обращается в ноль: иначе $x \in \overline{A} \cap \overline{B} = A \cap B = \varnothing$ . Значит, $f$ непрерывна, принимает значения в $[0, 1]$ , равна $0$ ровно на $A$ и $1$ ровно на $B$ . Смысл простой: $f(x)$ показывает, какую долю пути от $A$ к $B$ точка уже прошла.

Теорема (метрические пространства нормальны).

Любое метрическое пространство нормально.

Действительно, точки в метрическом пространстве замкнуты. А непересекающиеся замкнутые $A$ и $B$ разделяют множества

U = \{x : f(x) < 1/2\}, \qquad V = \{x : f(x) > 1/2\}.

Они открыты как прообразы открытых лучей при непрерывной $f$ , не пересекаются и содержат $A$ и $B$ . Если одно из множеств пусто, разделять нечего: $U = \varnothing$ , $V = X$ .

Задача. На прямой $A = (-\infty, 0]$ и $B = [2, +\infty)$ . Чему равно $f(1/2)$ ?

$1/4$
$1/2$
$1/3$
$3/4$

Разбор

$\rho(1/2, A) = 1/2$ и $\rho(1/2, B) = 3/2$ . Значит, $f(1/2) = \dfrac{1/2}{1/2 + 3/2} = \dfrac14$ . Вообще на отрезке $[0, 2]$ здесь $f(x) = x/2$ .

Компакты нормальны

Метрика дала нам нормальность бесплатно. Но многие важные пространства задаются без метрики. Оказывается, компактности вместе с хаусдорфовостью тоже хватает.

Теорема (компактное хаусдорфово пространство нормально).

Компактное хаусдорфово пространство нормально.

Схема доказательства

В уроке «Какие пространства компактны» (3.3) мы доказали, что компакт $K$ в хаусдорфовом пространстве замкнут. На самом деле там было доказано больше: точку $x \notin K$ можно отделить от $K$ непересекающимися окрестностями. Отделяем $x$ от каждой точки $K$ , выбираем конечное число окрестностей, покрывающих $K$ , и пересекаем соответствующие окрестности $x$ .

Теперь повторим этот приём дважды. Замкнутое множество в компакте компактно. Сначала отделяем точку от компактного $B$ : получаем регулярность. Потом каждую точку $A$ отделяем от $B$ и снова выбираем конечное число окрестностей, теперь покрывающих $A$ .

Доказательство

Пусть $X$ компактно и хаусдорфово, $A$ и $B$ замкнуты и не пересекаются. Замкнутые подмножества компакта компактны (урок «Какие пространства компактны», 3.3), так что $A$ и $B$ компактны.

Точка и компакт. Возьмём $a \in A$ . Как в уроке «Какие пространства компактны» (3.3), для каждой $b \in B$ найдутся непересекающиеся открытые $U_b \ni a$ и $V_b \ni b$ . Множества $V_b$ покрывают $B$ , выберем конечное подпокрытие $V_{b_1}, \dots, V_{b_n}$ . Тогда

U_a = U_{b_1} \cap \dots \cap U_{b_n} \ni a, \qquad V_a = V_{b_1} \cup \dots \cup V_{b_n} \supset B

открыты и не пересекаются. Это уже регулярность.

Компакт и компакт. Множества $U_a$ покрывают $A$ , выберем конечное подпокрытие $U_{a_1}, \dots, U_{a_m}$ . Тогда

U = U_{a_1} \cup \dots \cup U_{a_m} \supset A, \qquad V = V_{a_1} \cap \dots \cap V_{a_m} \supset B

открыты и не пересекаются: каждое $U_{a_i}$ не задевает $V_{a_i}$ , а значит, и $V$ .

В обоих шагах работает одна и та же схема: локальный факт для каждой точки, конечный выбор, глобальный факт. Конечность нужна, чтобы пересечение окрестностей осталось открытым.

Лемма Урысона

В метрическом пространстве нормальность получилась из функции $f$ : множества $\{f < 1/2\}$ и $\{f > 1/2\}$ разделяют $A$ и $B$ . Этот вывод работает в любом пространстве: если для $A$ и $B$ есть непрерывная функция, равная $0$ на $A$ и $1$ на $B$ , то они разделяются окрестностями.

Удивительно, что верно и обратное. Метрики нет, формул нет, есть только окрестности. Но функцию построить всё равно можно.

Теорема (лемма Урысона).

Пусть $X$ нормально, а $A$ и $B$ — непересекающиеся замкнутые множества. Тогда существует непрерывная функция $f\colon X \to [0, 1]$ , равная $0$ на $A$ и $1$ на $B$ .

Итак, для $T_1$ -пространства равносильны:

$X$ нормально;
любые два непересекающихся замкнутых множества разделяются непрерывной функцией $f\colon X \to [0, 1]$ .

Как найти функцию, не имея формул? Посмотрим на готовую функцию $f$ со стороны её множеств $U_r = \{x : f(x) < r\}$ . Они открыты, растут с ростом $r$ , и при $r < s$ даже $\overline{U_r} \subset \{f \le r\} \subset U_s$ . Функция по ним восстанавливается: $f(x)$ — это граница, начиная с которой $x$ попадает в $U_r$ . Значит, вместо функции можно строить вложенные открытые множества, а это ровно то, что умеет нормальность.

Схема доказательства

Начнём с $U_1 = X \setminus B$ : оно открыто и содержит $A$ . По переформулировке нормальности найдём открытое $U_0$ с $A \subset U_0$ и $\overline{U_0} \subset U_1$ . Тем же приёмом вставим $U_{1/2}$ между ними: $\overline{U_0} \subset U_{1/2}$ и $\overline{U_{1/2}} \subset U_1$ . Потом $U_{1/4}$ и $U_{3/4}$ , потом восьмые доли, и так для всех $r = k/2^n$ . Функцию зададим как $f(x) = \inf \{ r : x \in U_r \}$ . Она равна $0$ на $A$ и $1$ на $B$ , а непрерывна потому, что множества $U_r$ вложены с запасом и стоят «плотно».

Подробное доказательство

Обозначим через $D$ множество чисел вида $k/2^n$ из отрезка $[0, 1]$ .

Множества. Построим открытые $U_r$ , $r \in D$ , такие что $A \subset U_0$ , $U_1 = X \setminus B$ и $\overline{U_r} \subset U_s$ при $r < s$ . Множества $U_1$ и $U_0$ построены выше. Пусть уже построены $U_r$ для всех $r$ со знаменателем $2^n$ . Каждое новое число со знаменателем $2^{n+1}$ лежит посередине между двумя соседними старыми $r^- < r^+$ . Применим переформулировку нормальности к замкнутому $\overline{U_{r^-}}$ внутри открытого $U_{r^+}$ и получим новое множество между ними. Нужное свойство вложенности сохраняется.

Функция. Положим $f(x) = \inf \{ r \in D : x \in U_r \}$ , а если $x$ не лежит ни в одном $U_r$ , то $f(x) = 1$ . На $A \subset U_0$ функция равна $0$ . Все $U_r$ лежат в $U_1 = X \setminus B$ , поэтому на $B$ функция равна $1$ .

Два наблюдения. Если $x \in \overline{U_r}$ , то $f(x) \le r$ : точка лежит во всех $U_s$ с $s > r$ , а такие $s$ из $D$ бывают сколь угодно близки к $r$ . Если $x \notin U_r$ , то $f(x) \ge r$ : точка не лежит и в меньших множествах $U_s \subset U_r$ .

Непрерывность. Интервалы образуют базу прямой, а прообраз интервала $(c, d)$ — это пересечение $\{f > c\} \cap \{f < d\}$ . Значит, достаточно проверить, что множества $\{f < c\}$ и $\{f > c\}$ открыты (урок про базу топологии, 2.1).

Множество $\{f < c\}$ — это объединение всех $U_r$ с $r < c$ . Действительно, если $f(x) < c$ , то по определению инфимума $x$ лежит в некотором $U_r$ с $r < c$ . А если $x \in U_r$ и $r < c$ , то $f(x) \le r < c$ . Объединение открытых множеств открыто.

Множество $\{f > c\}$ — это объединение всех $X \setminus \overline{U_s}$ с $s > c$ . Если $f(x) > c$ , выберем $s < s'$ из $D$ между $c$ и $f(x)$ . Точка не лежит в $U_{s'}$ , иначе было бы $f(x) \le s'$ . А $\overline{U_s} \subset U_{s'}$ , так что $x \in X \setminus \overline{U_s}$ . Обратно, если $x \notin \overline{U_s}$ , то и $x \notin U_s$ , и по второму наблюдению $f(x) \ge s > c$ . Это тоже объединение открытых множеств.

Лемма Урысона вместе с теоремой о компактах даёт много непрерывных функций на любом компактном хаусдорфовом пространстве, даже если метрики на нём нет. Две любые точки и вообще два непересекающихся замкнутых множества различаются некоторой непрерывной функцией.

Задача. Пусть $X$ нормально, $A$ и $B$ — непересекающиеся непустые замкнутые множества. Что можно утверждать?

Есть непрерывная $g\colon X \to [-5, 7]$ , равная $7$ на $A$ и $-5$ на $B$
Для любой точки $b \notin A$ есть непрерывная $h\colon X \to [0, 1]$ , равная $0$ на $A$ и $1$ в точке $b$
Функцию из леммы Урысона можно выбрать равной $1/2$ всюду вне $A \cup B$

Разбор

Первое: возьмём функцию $f$ из леммы Урысона и положим $g = 7 - 12 f$ .

Второе: точка $\{b\}$ замкнута, потому что $X$ — $T_1$ -пространство. Применим лемму Урысона к $A$ и $\{b\}$ .

Третье неверно. На прямой возьмём $A = \{0\}$ и $B = \{1\}$ . Функция, равная $0$ в нуле и $1/2$ во всех точках рядом, разрывна в нуле. Функция из леммы Урысона обязана меняться постепенно, и множества $U_r$ как раз описывают, как именно.

Ступеньки лестницы действительно разные. Бывают хаусдорфовы, но не регулярные пространства, и регулярные, но не нормальные. Например, «плоскость Зоргенфрея» регулярна, но не нормальна. Все такие примеры довольно искусственны, и разбирать их мы не будем: в метрических пространствах и в компактных хаусдорфовых все три аксиомы $T_2$ , $T_3$ , $T_4$ выполнены.

Что получилось

Регулярность ( $T_3$ ): точка отделяется от замкнутого множества. Нормальность ( $T_4$ ): два замкнутых множества отделяются друг от друга. Вместе с $T_1$ получается лестница $T_4 \Rightarrow T_3 \Rightarrow T_2 \Rightarrow T_1 \Rightarrow T_0$ .
Переформулировка: $A \subset W$ ⟹ найдётся $V$ с $A \subset V \subset \overline{V} \subset W$ .
Метрические пространства нормальны: функция $\rho(x, A) / (\rho(x, A) + \rho(x, B))$ равна $0$ на $A$ и $1$ на $B$ .
Компактные хаусдорфовы пространства нормальны: приём из урока «Какие пространства компактны» (3.3), применённый дважды.
Лемма Урысона: в нормальном пространстве непересекающиеся замкнутые множества разделяются непрерывной функцией. Её строят по вложенным открытым множествам $U_r$ .