Сфера, тор, лента Мёбиуса, бутылка Клейна · Введение в топологию

В этом уроке мы соберём из всего модуля главные примеры поверхностей. Инструменты уже готовы: теорема о распознавании склейки из урока про фактор-пространства (3.6) и теорема о непрерывной биекции компакта на хаусдорфово пространство из урока «Какие пространства компактны» (3.3). С ними каждая поверхность получается за пару строк.

Все поверхности в уроке можно вращать: потяните за картинку мышью или пальцем. Помните, что это только способ их увидеть: сама склейка ничего не сгибает (урок про фактор-пространства, 3.6).

Начнём со сферы: её можно получить сразу тремя способами.

Плоскость плюс одна точка

В уроке про гомеоморфизм (2.4) мы видели, что сфера без северного полюса гомеоморфна плоскости, через стереографическую проекцию. Посмотрите ещё раз, что происходит, когда точка $w$ на плоскости уходит далеко: её образ на сфере подходит к полюсу $N$ , с какой бы стороны $w$ ни убегала.

Значит, сфера — это плоскость, к которой добавили одну точку «на бесконечности», и последовательности, уходящие из любого ограниченного множества, к этой точке сходятся. Сделаем это определением. Какие множества должны быть окрестностями новой точки? На сфере окрестность $N$ — это маленькая шапочка вокруг полюса, а на плоскости ей соответствует внешность большого круга, то есть дополнение компакта.

Определение (одноточечная компактификация).

Пусть $X$ — хаусдорфово пространство и $\infty$ — новая точка. На множестве $X^* = X \cup \{\infty\}$ объявим открытыми:

все открытые множества $X$ ;
множества $\{\infty\} \cup (X \setminus K)$ , где $K \subset X$ компактно.

Пространство $X^*$ называется одноточечной компактификацией $X$ .

Почему это топология и почему

X^*

компактно

Компакты в хаусдорфовом $X$ замкнуты (урок «Какие пространства компактны», 3.3), поэтому множества второго типа пересекаются с $X$ по открытым множествам.

Пересечения. Пересечение двух множеств первого типа открыто в $X$ . Пересечение $U \cap (\{\infty\} \cup (X \setminus K)) = U \setminus K$ открыто, потому что $K$ замкнуто. А $(X \setminus K_1) \cap (X \setminus K_2) = X \setminus (K_1 \cup K_2)$ , и объединение двух компактов компактно.

Объединения. Если в объединении есть хоть одно множество второго типа, $\{\infty\} \cup (X \setminus K)$ , то объединение имеет вид $\{\infty\} \cup (X \setminus C)$ , где $C$ — пересечение $K$ с дополнениями остальных множеств. Это замкнутое подмножество $K$ , а значит, компакт.

Компактность. В любом открытом покрытии $X^*$ точку $\infty$ покрывает множество $\{\infty\} \cup (X \setminus K)$ . Оставшийся компакт $K$ покрывается конечным числом множеств.

Теорема (сфера — это плоскость с бесконечностью).

$(\mathbb{R}^n)^* \cong S^n$ . В частности, $\mathbb{R}^* \cong S^1$ и $(\mathbb{R}^2)^* \cong S^2$ .

Схема доказательства

Продолжим стереографическую проекцию $s\colon S^n \setminus \{N\} \to \mathbb{R}^n$ , отправив $N$ в $\infty$ . Получается биекция $S^n \to (\mathbb{R}^n)^*$ . Она непрерывна: шапочки вокруг $N$ переходят в окрестности бесконечности. Сфера компактна, а $(\mathbb{R}^n)^*$ хаусдорфово. Значит, это гомеоморфизм.

Доказательство

Пусть $\varphi = s^{-1}\colon \mathbb{R}^n \to S^n \setminus \{N\}$ — обратная стереографическая проекция из урока про гомеоморфизм (2.4), а $\hat{s}\colon S^n \to (\mathbb{R}^n)^*$ равно $s$ вне $N$ и $\hat{s}(N) = \infty$ . Это биекция.

Непрерывность. Если $U \subset \mathbb{R}^n$ открыто, то $\hat{s}^{-1}(U) = \varphi(U)$ открыто в $S^n \setminus \{N\}$ , а значит, и в $S^n$ . Если $K \subset \mathbb{R}^n$ компактно, то прообраз $\{\infty\} \cup (\mathbb{R}^n \setminus K)$ равен $S^n \setminus \varphi(K)$ . Множество $\varphi(K)$ компактно как непрерывный образ компакта, поэтому замкнуто в $S^n$ , и его дополнение открыто.

Хаусдорфовость $(\mathbb{R}^n)^*$ . Точки $\mathbb{R}^n$ разделяются как раньше. Точку $x$ и $\infty$ разделяют $B(x, 1)$ и $\{\infty\} \cup (\mathbb{R}^n \setminus \overline{B}(x, 1))$ : замкнутый шар компактен.

Сфера компактна, и по теореме из урока «Какие пространства компактны» (3.3) непрерывная биекция $\hat{s}$ — гомеоморфизм.

Задача. Какие последовательности сходятся к $\infty$ в $\mathbb{R}^* \cong S^1$ ?

$x_n = n$
$x_n = (-1)^n n$
$x_n = 1/n$
$x_n = n \sin^2(\pi n / 2)$
$x_n = n^2 - 10n$

Разбор

Окрестности $\infty$ — это дополнения компактов, то есть содержат $\{|x| > R\}$ . Сходиться к $\infty$ значит рано или поздно навсегда выйти из любого отрезка $[-R, R]$ . Знак значения не имеет: у $\mathbb{R}^*$ одна бесконечность, а не две, и $(-1)^n n$ подходит к ней с обеих сторон окружности. Последовательность $n^2 - 10n$ сначала отрицательна, но потом растёт.

$n \sin^2(\pi n/2)$ равна $n$ при нечётных $n$ и $0$ при чётных. Нули остаются в отрезке $[-1, 1]$ , и к $\infty$ она не сходится.

Сфера Римана

Комплексная плоскость $\mathbb{C} = \mathbb{R}^2$ с добавленной бесконечностью называется сферой Римана $\hat{\mathbb{C}} = \mathbb{C} \cup \{\infty\}$ . На ней становятся непрерывными функции, которые на плоскости «уходили в бесконечность».

Например, отображение $z \mapsto 1/z$ , доопределённое как $0 \mapsto \infty$ и $\infty \mapsto 0$ , — гомеоморфизм сферы Римана. Оно само себе обратное, и нужно проверить только непрерывность в $0$ и $\infty$ . Окрестность $\infty$ содержит множество $\{|z| > R\}$ , и его прообраз $\{0 < |z| < 1/R\}$ вместе с точкой $0$ — окрестность нуля. Для $\infty$ так же. На сфере это отображение — поворот на $180°$ вокруг горизонтальной оси: он меняет полюса местами.

Многочлен $p(z)$ степени хотя бы $1$ тоже продолжается до непрерывного отображения сферы Римана в себя, если положить $p(\infty) = \infty$ : при $|z| \to \infty$ и $|p(z)| \to \infty$ . В комплексном анализе это рабочий язык: « $f$ имеет полюс в точке $a$ » значит, что $f$ непрерывно продолжается в $a$ значением $\infty$ .

Круг со стянутой границей

Второй способ получить сферу — стянуть границу круга в точку, как будто затянуть мешок верёвкой.

Утверждение (круг со стянутой границей — сфера).

$D^2/S^1 \cong S^2$ , где $D^2$ — замкнутый круг, а $S^1$ — его граница.

Доказательство

Запишем точку круга как $r u$ , где $0 \le r \le 1$ и $|u| = 1$ . Отображение

f(r u) = \big(\sin(\pi r)\, u,\ -\cos(\pi r)\big) \in \mathbb{R}^2 \times \mathbb{R} = \mathbb{R}^3

корректно в центре (при $r = 0$ направление $u$ не важно, и $f = (0, 0, -1)$ ) и непрерывно. Точка лежит на сфере: $\sin^2 + \cos^2 = 1$ . Окружность радиуса $r$ переходит в параллель на высоте $-\cos(\pi r)$ , при $0 < r < 1$ взаимно однозначно. Вся граница $r = 1$ переходит в северный полюс. Значит, $f$ — непрерывная сюръекция, склеивающая ровно граничные точки. Круг компактен, сфера хаусдорфова, и по теореме о распознавании склейки $D^2/S^1 \cong S^2$ .

То, что фактор $D^2/S^1$ хаусдорфов, можно было знать заранее: круг — метрическое, а значит, нормальное пространство, граница замкнута, и работает теорема о стягивании из урока про фактор-пространства (3.6).

Этот же приём работает в любой размерности: $D^n/S^{n-1} \cong S^n$ . Например, отрезок со склеенными концами — это $D^1/S^0 \cong S^1$ , как в уроке про фактор-пространства (3.6).

Склейки квадрата

Теперь главный сюжет. Склеим стороны квадрата $[0, 1]^2$ попарно. Склейку рисуют стрелками: стороны с одинаковыми стрелками склеиваются так, чтобы стрелки совпали. Вариантов немного.

Цилиндр: левая сторона с правой, стрелки в одну сторону: $(0, y) \sim (1, y)$ .
Лента Мёбиуса: левая с правой, но стрелки навстречу: $(0, y) \sim (1, 1 - y)$ .
Тор: обе пары, все стрелки сонаправлены: $(0, y) \sim (1, y)$ и $(x, 0) \sim (x, 1)$ .
Бутылка Клейна: левая с правой прямо, верх с низом с переворотом: $(0, y) \sim (1, y)$ и $(x, 0) \sim (1 - x, 1)$ .
Проективная плоскость: обе пары с переворотом: $(0, y) \sim (1, 1 - y)$ и $(x, 0) \sim (1 - x, 1)$ .

Жить на склеенном квадрате удобно так: выходя за сторону, вы появляетесь с парной стороны по правилу склейки. Так устроены старые компьютерные игры, где корабль, улетевший за правый край экрана, появляется слева: их экран — тор. Попробуйте все пять склеек. Красные стрелки с флажком показывают, как путешественник ориентирован: флажок у него слева.

Тор

Склеивать можно и в другом порядке: сначала свернуть широкий цилиндр, а потом загнуть его края внутрь, пока они не встретятся. Получается тот же тор.

Утверждение (три описания тора).

Следующие пространства гомеоморфны:

квадрат со склейкой $(0, y) \sim (1, y)$ , $(x, 0) \sim (x, 1)$ ;
произведение $S^1 \times S^1$ ;
поверхность бублика в $\mathbb{R}^3$ .

Доказательство

1 ≅ 2. Отображение $(x, y) \mapsto \big((\cos 2\pi x, \sin 2\pi x), (\cos 2\pi y, \sin 2\pi y)\big)$ непрерывно по координатам и сюръективно. Две точки квадрата переходят в одну ровно тогда, когда их координаты совпадают или отличаются на целое число, то есть ровно для склеенных точек. Квадрат компактен, $S^1 \times S^1 \subset \mathbb{R}^4$ хаусдорфово, и по теореме о распознавании склейки фактор гомеоморфен $S^1 \times S^1$ .

2 ≅ 3 мы доказали в уроке «Какие пространства компактны» (3.3).

Координатные линии на картинке — это образы горизонтальных и вертикальных отрезков квадрата: они становятся параллелями и меридианами бублика.

Есть и четвёртое описание: тор — это плоскость, в которой склеены точки, отличающиеся на вектор с целыми координатами, $\mathbb{R}^2/\mathbb{Z}^2$ . Квадрат — один «кирпичик» этой решётки, и путь в интерактиве — это прямая на плоскости, свёрнутая в квадрат. Если наклон прямой рационален, путь на торе замыкается, а если иррационален, он никогда не замкнётся и пройдёт сколь угодно близко к любой точке тора.

Лента Мёбиуса и бутылка Клейна

Лента Мёбиуса

Лента Мёбиуса — полоска бумаги, концы которой склеены с поворотом на пол-оборота.

У неё два знаменитых свойства, и оба видны на квадрате.

Одна граница. Граница квадрата после склейки — это верхняя и нижняя стороны. У цилиндра они остаются двумя окружностями. А у ленты Мёбиуса правый конец верхней стороны $(1, 1)$ склеен с левым концом нижней $(0, 0)$ , и наоборот. Поэтому верх и низ соединяются в одну окружность, вдвое длиннее средней линии.

Нет двух сторон. В интерактиве путь, прошедший через склейку, возвращается с флажком справа. Путешественник обошёл ленту и вернулся зеркально отражённым. Поверхности, на которых так бывает, называются неориентируемыми. Цилиндр и тор ориентируемы: там флажок всегда слева.

Ещё один эксперимент, который стоит проделать с бумагой: разрежьте ленту Мёбиуса по средней линии. На квадрате средняя линия — отрезок $y = 1/2$ , и после разреза остаются полоски $y < 1/2$ и $y > 1/2$ . Но склейка с переворотом соединяет правый конец нижней полоски с левым концом верхней, и наоборот. Поэтому полоски срастаются в одну ленту, вдвое длиннее.

Бутылка Клейна

У бутылки Клейна левая и правая стороны склеены прямо, получается цилиндр. А дальше окружности на концах цилиндра надо склеить с переворотом. В пространстве это можно сделать, только если протащить цилиндр сквозь собственную стенку, отсюда знаменитая картинка бутылки, горлышко которой уходит внутрь.

Бутылка Клейна неориентируема, как и лента Мёбиуса: проверьте на интерактиве, что путь через верхнюю сторону меняет флажок. Более того, ленты Мёбиуса внутри неё видны прямо на квадрате. Полоса $1/4 < x < 3/4$ после склейки верха с низом с переворотом — это лента Мёбиуса. И оставшаяся часть, полосы $x < 1/4$ и $x > 3/4$ , склеенные через левую и правую стороны, — тоже лента Мёбиуса. Значит, бутылка Клейна — это две ленты Мёбиуса, склеенные по границе. На картинке они покрашены в разные цвета. Цвет здесь отмечает куски, а не стороны: сторона у бутылки Клейна, как и у ленты Мёбиуса, одна.

Две стороны и одна. У сферы и тора в пространстве две стороны, внешняя и внутренняя. На трёхмерных картинках выше они синяя и оранжевая, и с одной на другую не перейти, не проткнув поверхность. Так бывает всегда: замкнутая поверхность без самопересечений делит $\mathbb{R}^3$ на внутренность и внешность, и у неё две стороны, обращённые к ним. Для поверхностей в $\mathbb{R}^3$ ориентируемость — это и есть наличие двух сторон.

А у бутылки Клейна сторона одна: муравей, ползущий по внешней стенке, через горлышко попадёт на внутреннюю, нигде не перелезая через край (края у бутылки нет). Значит, без самопересечений бутылку Клейна в $\mathbb{R}^3$ не поместить: такая поверхность делила бы пространство на две части, и сторон было бы две. Самопересечение на картинке не случайно, а неизбежно. Строго доказать, что замкнутая поверхность делит пространство на две части, довольно трудно, и мы этого делать не будем. А в $\mathbb{R}^4$ бутылка Клейна помещается без самопересечений: там горлышко можно обвести вокруг стенки через четвёртое измерение.

Проективная плоскость

Последняя склейка квадрата, обе пары сторон с переворотом, даёт проективную плоскость $\mathbb{RP}^2$ . Это, пожалуй, самая важная поверхность после сферы и тора, и у неё несколько описаний, каждое со своей пользой.

Круг. Квадрат гомеоморфен кругу, и его стороны переходят в четыре дуги границы. Склейка с переворотом обеих пар становится такой: каждая точка границы склеена с противоположной, $x \sim -x$ при $|x| = 1$ .

Сфера. Склеим противоположные точки всей сферы: $\mathbb{RP}^2 = S^2/(x \sim -x)$ . У каждой пары $\{x, -x\}$ есть представитель на нижней полусфере, причём один, если пара не на экваторе. А пары на экваторе — это противоположные точки границы полусферы. Нижняя полусфера — это круг, и получается то же, что в предыдущем описании.

Почему полусфера со склейкой — это

S^2/(x \sim -x)

Отображение из замкнутой нижней полусферы $H$ в $S^2/(x \sim -x)$ (вложение, затем проекция) непрерывно. Оно сюръективно, потому что у каждой пары есть представитель в $H$ , и склеивает ровно противоположные точки экватора. Полусфера компактна. Фактор хаусдорфов: две разные пары $\{\pm x\}$ и $\{\pm y\}$ разделяются образами маленьких шаров вокруг $\pm x$ и $\pm y$ , если радиус меньше четверти расстояния между этими четырьмя точками. По теореме о распознавании склейки из урока про фактор-пространства (3.6) получается гомеоморфизм.

Прямые. Прямая в $\mathbb{R}^3$ через начало координат пересекает сферу ровно в паре противоположных точек. Поэтому $\mathbb{RP}^2$ — это пространство прямых через начало координат, или пространство направлений без учёта знака. Отсюда и название. Каждая негоризонтальная прямая пересекает плоскость $z = 1$ ровно в одной точке, а горизонтальные прямые её не пересекают. Значит, $\mathbb{RP}^2$ — это обычная плоскость, к которой добавили целую прямую точек на бесконечности, по одной на каждое направление горизонтальных прямых. Сравните со сферой: там к плоскости добавлялась одна точка. В проективной плоскости параллельные прямые пересекаются на бесконечности, и с этого начинается проективная геометрия.

Лента Мёбиуса и круг. На картинке с полусферой полоса у экватора после склейки противоположных точек — это лента Мёбиуса: каждый её поперечный отрезок склеивается с противоположным, перевернувшись. Остаток — круг, приклеенный к границе ленты. Значит, проективная плоскость — это лента Мёбиуса, к границе которой приклеен круг.

Раз внутри есть лента Мёбиуса, проективная плоскость неориентируема. Значит, по тому же рассуждению, что и для бутылки Клейна, в $\mathbb{R}^3$ без самопересечений она не помещается.

Задача. Сопоставьте свойства. Какие утверждения верны?

У цилиндра граница состоит из двух окружностей, а у ленты Мёбиуса — из одной
Тор неориентируем
Бутылка Клейна и проективная плоскость не имеют границы
Если на квадрате склеить только верх с низом с переворотом, получится лента Мёбиуса
Если склеить у квадрата все четыре стороны прямо, без переворотов, получится сфера

Разбор

Границу и ориентируемость удобно проверять на интерактиве: у тора флажок не меняет сторону ни на одном переходе. У бутылки Клейна и проективной плоскости обе пары сторон склеены, и края не остаётся.

Склейка только верха с низом с переворотом — та же лента Мёбиуса, повёрнутая на $90°$ .

Последнее — это тор, а не сфера. Сферу из квадрата тоже можно склеить, но по-другому: левую сторону с нижней и правую с верхней, как сложенный конверт. Можно проверить, что это круг, у которого граница сложена пополам, то есть $D^2/S^1$ .

Чем они отличаются

У нас есть шесть пространств: сфера, тор, цилиндр, лента Мёбиуса, бутылка Клейна и проективная плоскость. Гомеоморфны ли какие-то из них? Пока различать мы умеем немногое.

Граница. Цилиндр и лента Мёбиуса имеют край, остальные нет. Строго это можно сказать так: у точки края нет окрестности, гомеоморфной кругу.
Число компонент края. Две окружности у цилиндра и одна у ленты Мёбиуса.
Ориентируемость. Сфера, тор и цилиндр ориентируемы, а лента Мёбиуса, бутылка Клейна и проективная плоскость нет.
Компактность. Все эти пространства компактны как факторы квадрата. А вот открытый цилиндр $S^1 \times \mathbb{R}$ и открытая лента Мёбиуса без края уже не компактны.

Мы пока не доказали ни один из этих фактов про ориентируемость и края строго, и не умеем отличить сферу от тора: обе компактны, без края и ориентируемы. Интуиция подсказывает, что на торе есть петля, которую нельзя стянуть в точку, а на сфере любая петля стягивается. Чтобы сделать это доказательством, понадобятся новые инварианты, и до них мы ещё доберёмся.

Что получилось

Одноточечная компактификация добавляет точку $\infty$ , окрестности которой — дополнения компактов. $(\mathbb{R}^n)^* \cong S^n$ , и это стереографическая проекция, продолженная на полюс.
Сфера Римана $\hat{\mathbb{C}}$ : на ней $z \mapsto 1/z$ — гомеоморфизм, а многочлены непрерывны.
$D^2/S^1 \cong S^2$ : круг со стянутой границей — сфера.
Склейки квадрата дают цилиндр, ленту Мёбиуса, тор, бутылку Клейна и проективную плоскость. Тор $= S^1 \times S^1 = \mathbb{R}^2/\mathbb{Z}^2$ = бублик.
Лента Мёбиуса имеет одну граничную окружность и неориентируема. Бутылка Клейна — две ленты Мёбиуса, склеенные по границе.
Все доказательства гомеоморфизмов в уроке шли по одной схеме: непрерывная сюръекция компакта на хаусдорфово пространство, склеивающая ровно нужные точки.

Этим урок и модуль заканчиваются. Мы умеем строить пространства произведениями и склейками и узнавать результат с помощью компактности. Следующий модуль про связность: она позволит строго доказать часть того, что здесь мы видели только на картинках, например, что восьмёрка не гомеоморфна окружности.