Сходимость и непрерывность по Гейне · Введение в топологию

Обычно ещё до непрерывности на матанализе проходят предел последовательности.

Сможем ли мы провернуть с ним тот же трюк, что и с непрерывными функциями? Почти. У нас останутся числа, но только натуральные, потому что через них просто определяется последовательность.

Сначала нам понадобится определение последовательности:

Определение (последовательность).

Последовательность — это функция $f\colon \mathbb{N} \to \mathbb{R}$ .

Это буквально просто функция, которая принимает натуральные числа. Кажется достаточно очевидным, что последовательность без проблем обобщается на любые множества. То есть отображение может быть из натуральных чисел в рациональные, комплексные или какие угодно ещё, это сути не поменяет.

$x_n = f(n)$ — член последовательности.

Предел последовательности в классическом варианте определяется так:

Определение (предел последовательности).

Число $a$ называется пределом последовательности $(x_n)$ , если

\forall \varepsilon > 0 \;\; \exists N \;\; \forall n > N: \quad |x_n - a| < \varepsilon .

Пишут $x_n \to a$ .

Очень напоминает определение непрерывной функции, что не случайно.

Условие $|x_n - a| < \varepsilon$ при всех $n > N$ просто означает, что в интервале $(a - \varepsilon, a + \varepsilon)$ лежат все $x_n$ , начиная с какого-то номера. Иначе говоря, там лежит весь хвост последовательности. Поэтому, как и в прошлом уроке, интервалы можно заменить окрестностями: «в любой окрестности $a$ лежат все $x_n$ , начиная с какого-то номера».

Напомню, что окрестностью точки мы называем любое открытое множество, содержащее эту точку.

Получается, наше новое определение выглядит так:

Определение (предел последовательности через окрестности).

$x_n \to a$ , если

\forall U(a) \;\; \exists N \;\; \forall n > N:\;\; x_n \in U(a).

Задача. Какие последовательности сходятся к $0$ ? Удобно думать так: попадает ли в любую окрестность нуля весь хвост?

$1, \frac12, \frac13, \frac14, \dots$
$-1, \frac12, -\frac13, \frac14, \dots$
$-1, 1, -1, 1, \dots$
$0, 1, 0, \frac12, 0, \frac13, \dots$
$1, \frac12, 1, \frac13, 1, \frac14, \dots$

Задача.

Проверьте, что это определение равносильно классическому.

Решение

Если $x_n \to a$ в классическом смысле и $U$ — окрестность $a$ , то $U$ открыто, значит, в нём есть интервал $(a - \varepsilon, a + \varepsilon)$ . С некоторого номера все $x_n$ лежат в этом интервале, а значит, и в $U$ . Обратно, интервал $(a - \varepsilon, a + \varepsilon)$ сам является окрестностью $a$ , так что из нового определения сразу получается старое.

На первый взгляд кажется, что мы не так уж и много чего изменили. Но на самом деле, если присмотреться, в этом определении снова вообще нет чисел (кроме натуральных из определения последовательности). Используются только открытые множества, а значит, оно работает где угодно, где мы просто скажем, что такое открытые множества.

Новое определение хорошо видно на привычных фактах. Например, почему у последовательности не может быть двух пределов?

Задача.

Докажите через окрестности, что предел последовательности единственный.

Решение

Пусть $x_n \to a$ и $x_n \to b$ , причём $a \ne b$ . Возьмём непересекающиеся окрестности: $U = (a - r, a + r)$ и $V = (b - r, b + r)$ , где $r = |a - b|/2$ . С некоторого номера все $x_n$ лежат в $U$ , а с некоторого (другого) номера все лежат в $V$ . Начиная с большего из этих номеров, члены лежат и в $U$ , и в $V$ одновременно, а $U \cap V = \varnothing$ . Противоречие.

Обратите внимание, что в этом доказательстве нужно было только одно свойство прямой: у двух разных точек есть непересекающиеся окрестности. Запомните его. Мы ещё увидим пространства, где оно не выполняется, и пределов там действительно может быть несколько.

Предел функции

Теперь то же самое с пределом функции. Классическое определение:

\lim_{x \to a} f(x) = L, \quad \text{если} \quad \forall \varepsilon > 0 \;\; \exists \delta > 0 \;\; \forall x: \quad 0 < |x - a| < \delta \;\Rightarrow\; |f(x) - L| < \varepsilon .

Оно почти дословно совпадает с непрерывностью. Отличий два: вместо $f(a)$ стоит какое-то число $L$ , и появилось условие $0 < |x - a|$ , то есть саму точку $a$ мы не рассматриваем.

Интервал вокруг $a$ без самой точки $a$ называют проколотой окрестностью. В общем виде проколотая окрестность — это $U \setminus \{a\}$ , где $U$ — окрестность $a$ . Тогда определение переписывается так же, как непрерывность в прошлом уроке:

Определение (предел функции через окрестности).

$\lim\limits_{x \to a} f(x) = L$ , если для любой окрестности $V$ точки $L$ найдётся окрестность $U$ точки $a$ , такая что $f\bigl(U \setminus \{a\}\bigr) \subset V$ .

Зачем выкалывать точку? Чтобы значение в самой точке ни на что не влияло. Возьмём

f(x) = \begin{cases} x, & x \ne 0, \\ 5, & x = 0. \end{cases}

Её предел в нуле равен $0$ , хотя $f(0) = 5$ : предел смотрит на то, куда идут значения, а не на то, что стоит в самой точке. Отсюда получается простая связь двух понятий.

Задача. Пусть $f(x) = x^2$ при $x \ne 0$ и $f(0) = 1$ . Чему равен $\lim\limits_{x \to 0} f(x)$ ?

$0$
$1$
Предела нет, потому что функция разрывна

Утверждение (предел и непрерывность).

$\lim\limits_{x \to a} f(x) = L$ тогда и только тогда, когда функция

\tilde f(x) = \begin{cases} f(x), & x \ne a, \\ L, & x = a \end{cases}

непрерывна в точке $a$ .

Доказательство

Для $\tilde f$ условие непрерывности в $a$ говорит: для любой окрестности $V$ точки $\tilde f(a) = L$ есть окрестность $U$ точки $a$ с $\tilde f(U) \subset V$ . Точка $a$ сама переходит в $L \in V$ , поэтому это условие равносильно $\tilde f(U \setminus \{a\}) \subset V$ . А на $U \setminus \{a\}$ функции $\tilde f$ и $f$ совпадают. Получилось ровно определение предела.

То есть предел — это непрерывность, которой не мешает значение в самой точке. А непрерывность в точке — это когда предел есть и равен значению.

Замечание (два предела — это один).

Последовательность — это функция на $\mathbb{N}$ , а « $n \to \infty$ » можно понимать как предел функции в точке $\infty$ . Добавим к $\mathbb{N}$ точку $\infty$ и назовём её окрестностями хвосты: множества $\{N+1, N+2, \dots\} \cup \{\infty\}$ . Тогда «в любой окрестности $a$ лежит хвост последовательности» и есть определение предела функции $n \mapsto x_n$ в точке $\infty$ . Два определения из матана, которые учат по отдельности, оказываются одним и тем же, просто в разных пространствах.

Непрерывность по Гейне

В матане есть второе определение непрерывности, через последовательности.

Определение (непрерывность по Гейне).

Функция $f$ непрерывна в точке $x_0$ , если для любой последовательности $x_n \to x_0$ выполнено $f(x_n) \to f(x_0)$ .

Это определение очень важно, потому что показывает, что такое непрерывность по смыслу: непрерывная функция сохраняет пределы. Его можно записать совсем коротко:

f\Bigl(\lim_{n \to \infty} x_n\Bigr) = \lim_{n \to \infty} f(x_n).

Предел можно «пронести» через функцию. Ровно этим мы постоянно пользуемся при вычислениях, когда пишем $\lim \sqrt{x_n} = \sqrt{\lim x_n}$ или $\lim e^{x_n} = e^{\lim x_n}$ .

Слово «любой» здесь принципиально. Посмотрите на функцию со скачком: по последовательности $1/n$ значения подходят к $f(0)$ , а по $-1/n$ уже нет. А у $\sin(1/x)$ (в нуле доопределим её нулём) всё ещё хитрее: на точках $1/(\pi n)$ функция равна нулю и предел сохраняется, но найдутся последовательности, по которым значения идут к $1$ или вообще никуда не сходятся.

Задача. Известно, что $f(x_n) \to f(0)$ для $x_n = \frac1n$ и для $x_n = -\frac1n$ . Следует ли отсюда, что $f$ непрерывна в нуле?

Да: эти последовательности подходят к нулю с обеих сторон
Нет: нужно проверять все последовательности, сходящиеся к нулю

Разбор

Нет. Возьмём функцию, которая равна $0$ в нуле и во всех точках $\pm\frac1n$ , а во всех остальных точках равна $1$ . На последовательностях $\pm\frac1n$ все значения равны $0 = f(0)$ , так что предел сохраняется. Но на последовательности $x_n = \frac{1}{n + 1/2}$ значения равны $1$ , а $f(0) = 0$ . Значит, по Гейне функция в нуле разрывна: двух последовательностей мало, нужны все.

Коши и Гейне — одно и то же?

На прямой да.

Теорема (Коши ⇔ Гейне).

Функция $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ непрерывна в точке $x_0$ по Коши тогда и только тогда, когда она непрерывна в $x_0$ по Гейне.

Схема доказательства

«⇒». Хвост $x_n$ рано или поздно заходит в окно $U$ , а окно целиком отображается в полосу $V$ . Значит, и хвост $f(x_n)$ оказывается в полосе.

«⇐». Если функция разрывна в $x_0$ , то есть полоса $V$ , из которой она «выпрыгивает» как угодно близко к $x_0$ . Берём по одной такой точке на расстоянии меньше $1, \frac12, \frac13, \dots$ от $x_0$ . Эти точки сходятся к $x_0$ , а их значения ни разу не попадают в полосу.

Доказательство

«⇒». Пусть $f$ непрерывна в $x_0$ по Коши и $x_n \to x_0$ . Нужно проверить, что $f(x_n) \to f(x_0)$ , то есть что любая окрестность $V$ точки $f(x_0)$ содержит хвост $f(x_n)$ .

По непрерывности есть окрестность $U$ точки $x_0$ , для которой $f(U) \subset V$ .
Так как $x_n \to x_0$ , с некоторого номера все $x_n$ лежат в $U$ .
Значит, с этого же номера все $f(x_n)$ лежат в $f(U) \subset V$ .

«⇐». Докажем от противного: пусть $f$ разрывна в $x_0$ , и построим последовательность, на которой предел не сохраняется.

Разрывность значит, что есть «плохая» окрестность $V$ точки $f(x_0)$ : в любой окрестности $x_0$ есть точка, значение в которой не лежит в $V$ .
Применим это к окрестностям $(x_0 - \tfrac1n,\, x_0 + \tfrac1n)$ : для каждого $n$ найдётся $x_n$ с $|x_n - x_0| < \tfrac1n$ и $f(x_n) \notin V$ .
Тогда $x_n \to x_0$ , но ни один $f(x_n)$ не лежит в $V$ , так что $f(x_n) \not\to f(x_0)$ . Значит, по Гейне $f$ тоже разрывна.

Теперь посмотрим, что понадобилось каждой половине доказательства.

Половина «⇒» использовала только окрестности, поэтому она дословно переносится в любое пространство, где сказано, какие множества открыты: непрерывность всегда влечёт непрерывность по Гейне.

Половине «⇐» понадобилось больше: конкретный набор окрестностей $(x_0 - \tfrac1n,\, x_0 + \tfrac1n)$ . Важны два его свойства.

Замечание (что мы использовали в «⇐»).

Окрестностей в наборе счётное число, их можно занумеровать: $n = 1, 2, 3, \dots$ Поэтому из выбранных в них точек получается последовательность.
Они сколь угодно малы: в любой окрестности $x_0$ лежит одна из них. Поэтому выбранные точки сходятся к $x_0$ .

На прямой такой набор есть у каждой точки, и поэтому в матане определения Коши и Гейне равносильны. Но бывают пространства, где у точки нет счётного набора окрестностей со свойством 2. Там обратное утверждение может не выполняться: функция бывает непрерывна по Гейне, но не непрерывна. Пример разберём в модуле 2.

Что получилось

Предел последовательности: в любой окрестности предела лежит хвост.
Предел функции: для любой окрестности $V$ предела есть проколотая окрестность, которая целиком отображается в $V$ . Предел — это непрерывность без оглядки на значение в точке.
Непрерывность по Гейне: функция сохраняет пределы. Из непрерывности через окрестности она следует всегда. Обратное верно на прямой, но держится на счётном наборе всё меньших окрестностей, который есть не везде.

Во всех этих определениях осталось одно понятие: открытое множество. Но пока открытые множества у нас определены только на прямой, и определены через интервалы, то есть через числа. В следующем уроке разберёмся, что на самом деле нужно, чтобы говорить о «близости» точек, и придём к понятию расстояния.