Непрерывность без ε и δ · Введение в топологию

Общая топология во многом является попыткой обобщить немало вопросов матанализа на что-то гораздо более широкое, чем просто действительные числа. Сначала попробуем понять, откуда такая идея обобщения вообще взялась.

Одно из главных определений матанализа — непрерывность функции. Обычно его определяют так.

Определение (непрерывность по Коши).

Функция $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ непрерывна в точке $x_0$ , если

\forall \varepsilon > 0 \;\; \exists \delta > 0 \;\; \forall x: \quad |x - x_0| < \delta \;\Rightarrow\; |f(x) - f(x_0)| < \varepsilon .

Честно говоря, с первого раза это определение мало кто чувствует: какие-то кванторы, модули, греческие буквы. Его заучивают, по нему решают задачи, но что за ним стоит, часто остаётся непонятным.

Многие себе объясняют определение так: «малое изменение аргумента влечёт малое изменение значения». Становится чуть получше, но ненамного, и главное в нашем случае, что это не сильно помогает обобщению: слово «малое» привязано к действительным числам.

В этом уроке мы посмотрим, что это определение говорит на картинке, а потом перепишем его так, что ни $\varepsilon$ , ни $\delta$ , ни даже модуля разности в нём не останется. Эта переформулировка и есть дверь в топологию.

Что на самом деле говорит ε-δ

Неравенство $|f(x) - f(x_0)| < \varepsilon$ значит просто, что $f(x)$ лежит в интервале $(f(x_0) - \varepsilon,\; f(x_0) + \varepsilon)$ . На графике это горизонтальная полоса вокруг значения $f(x_0)$ . А $|x - x_0| < \delta$ значит, что $x$ лежит в окне $(x_0 - \delta,\; x_0 + \delta)$ вокруг $x_0$ .

Тогда определение читается так: какую бы узкую полосу вокруг $f(x_0)$ ни взяли, найдётся окно вокруг $x_0$ , которое целиком отображается в эту полосу. Немного входа в запас, чтобы выход не вылетел из полосы.

Обратите внимание, что сами числа $\varepsilon$ и $\delta$ тут ничего не значат. Важно только, что полоса «окружает» точку $f(x_0)$ , а окно «окружает» точку $x_0$ . Назовём окрестностью точки любой интервал $(a, b)$ , который её содержит. Симметричность интервала тоже не важна: в любом интервале вокруг точки помещается симметричный, и наоборот. Получаем то же определение, но уже без чисел.

Утверждение (непрерывность через окрестности).

$f$ непрерывна в $x_0$ тогда и только тогда, когда для любой окрестности $V$ точки $f(x_0)$ найдётся окрестность $U$ точки $x_0$ , такая что $f(U) \subset V$ .

Избавляемся от точек

Теперь пусть $f$ непрерывна во всех точках. Возьмём какой-нибудь интервал $V$ на оси значений и посмотрим на все $x$ , которые в него попадают. Это множество называется прообразом $V$ :

f^{-1}(V) = \{\, x \in \mathbb{R} : f(x) \in V \,\}.

(Обратная функция тут не нужна, $f^{-1}(V)$ имеет смысл для любой $f$ .)

Задача. Пусть $f(x) = x^2$ . Чему равен прообраз $f^{-1}\bigl((1, 4)\bigr)$ ?

$(1, 2)$
$(-2, -1) \cup (1, 2)$
$(1, 16)$
$(-2, 2)$

Пусть $x_0 \in f^{-1}(V)$ . Тогда $V$ является окрестностью точки $f(x_0)$ , и по непрерывности есть окно $U$ вокруг $x_0$ , которое целиком переходит в $V$ . То есть всё окно $U$ лежит в прообразе. Получилось, что у каждой точки прообраза есть «запас» во все стороны. У таких множеств есть имя.

Определение (открытое множество).

Назовём множество $G \subset \mathbb{R}$ открытым, если вместе с каждой своей точкой оно содержит и какой-нибудь интервал вокруг неё:

\forall x \in G \;\; \exists \delta > 0: \quad (x - \delta,\, x + \delta) \subset G .

Открыты любой интервал $(a, b)$ , луч $(a, +\infty)$ , вся прямая $\mathbb{R}$ и, например, $(0, 1) \cup (2, 3)$ . Пустое множество тоже открыто: в нём нет точек, для которых что-то надо проверять. А вот $[0, 1)$ не открыто. Точка $0$ в нём лежит, но любой интервал вокруг нуля задевает отрицательные числа. Не открыты и одна точка $\{0\}$ , и множество рациональных чисел $\mathbb{Q}$ : в любом интервале есть иррациональные числа.

Задача. Какие из множеств открыты?

$\mathbb{R} \setminus \{0\}$
$\mathbb{R} \setminus \mathbb{Z}$
$\{\, 1/n : n \in \mathbb{N} \,\}$
$\mathbb{R} \setminus \{\, 1/n : n \in \mathbb{N} \,\}$
$\mathbb{R} \setminus \bigl(\{0\} \cup \{\, 1/n : n \in \mathbb{N} \,\}\bigr)$

Разбор

Открыты A, B и E. Множество C не открыто, потому что вокруг $1$ нет интервала из чисел вида $1/n$ . Множество D не открыто из-за точки $0$ : она в нём лежит, но в любом интервале вокруг нуля есть числа $1/n$ . Если выкинуть и ноль (вариант E), проблема исчезает: у каждой оставшейся точки есть запас до ближайшего $1/n$ .

Мы уже доказали половину главной теоремы урока. Вторая половина ещё проще.

Теорема (непрерывность через открытые множества).

Функция $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ непрерывна во всех точках тогда и только тогда, когда прообраз любого открытого множества открыт.

Схема доказательства

«⇒»: у каждой точки прообраза есть окно, которое отображается в $V$ , а значит, лежит в прообразе. «⇐»: возьмём в качестве $V$ полосу $(f(x_0) - \varepsilon, f(x_0) + \varepsilon)$ . Её прообраз открыт и содержит $x_0$ , значит, содержит и интервал вокруг $x_0$ . Его полуширина и есть $\delta$ .

Доказательство

«⇒». Пусть $f$ непрерывна и $V$ открыто. Возьмём $x_0 \in f^{-1}(V)$ . Так как $f(x_0) \in V$ и $V$ открыто, есть $\varepsilon > 0$ , при котором $(f(x_0) - \varepsilon, f(x_0) + \varepsilon) \subset V$ . По непрерывности в $x_0$ найдётся $\delta > 0$ , такое что $|x - x_0| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(x_0)| < \varepsilon$ . Значит, для всех $x \in (x_0 - \delta, x_0 + \delta)$ выполнено $f(x) \in V$ , то есть $(x_0 - \delta, x_0 + \delta) \subset f^{-1}(V)$ . Точка $x_0$ была любой, поэтому $f^{-1}(V)$ открыто.

«⇐». Пусть прообразы открытых множеств открыты. Возьмём точку $x_0$ и $\varepsilon > 0$ . Интервал $V = (f(x_0) - \varepsilon, f(x_0) + \varepsilon)$ открыт, значит, открыт и $f^{-1}(V)$ . Он содержит $x_0$ , поэтому есть $\delta > 0$ с $(x_0 - \delta, x_0 + \delta) \subset f^{-1}(V)$ . Это и значит, что $|x - x_0| < \delta \Rightarrow f(x) \in V \Rightarrow |f(x) - f(x_0)| < \varepsilon$ .

Снизу можно это потыкать ручками. Выберите функцию и подвигайте полосу $V$ (ползунками или прямо мышью по картинке). Отрезки на оси $x$ показывают прообраз $f^{-1}(V)$ . У непрерывных функций он всегда состоит из интервалов без концов. У разрывных найдётся такая полоса, что у прообраза появится закрашенный конец или отдельная точка, и открытость сломается ровно в точке разрыва.

Почему прообраз, а не образ

Мог возникнуть естественный вопрос: почему мы требуем открытости прообраза, а не образа?

Это просто неверно. Функция $f(x) = x^2$ гладкая, но переводит интервал $(-1, 1)$ в $[0, 1)$ , а это множество не открыто. Можно даже проще: постоянная функция переводит вообще что угодно в одну точку, а значит, и любое открытое множество в одну точку, которая не открыта.

Непрерывность есть обещание про выход: «хочешь, чтобы значение попало в полосу $V$ , и тогда у тебя есть запас по входу».

У прообраза есть и чисто техническое преимущество: он идеально уживается с теоретико-множественными операциями.

f^{-1}\Bigl(\,\bigcup_i V_i\Bigr) = \bigcup_i f^{-1}(V_i), \qquad f^{-1}\Bigl(\,\bigcap_i V_i\Bigr) = \bigcap_i f^{-1}(V_i), \qquad f^{-1}(\mathbb{R} \setminus V) = \mathbb{R} \setminus f^{-1}(V).

Читателю предлагается это проверить самостоятельно.

Образ так не умеет: $f(A \cap B)$ может быть строго меньше, чем $f(A) \cap f(B)$ . Например, возьмём $f(x) = x^2$ , $A = (-2, -1)$ и $B = (1, 2)$ . Тогда

f(A) = f(B) = (1, 4), \qquad A \cap B = \varnothing,

а значит, $f(A \cap B) = \varnothing$ , тогда как $f(A) \cap f(B) = (1, 4)$ .

Задача. Какие равенства верны для любой функции $f$ и любых множеств $A$ , $B$ ?

$f^{-1}(A \cup B) = f^{-1}(A) \cup f^{-1}(B)$
$f^{-1}(A \cap B) = f^{-1}(A) \cap f^{-1}(B)$
$f(A \cup B) = f(A) \cup f(B)$
$f(A \cap B) = f(A) \cap f(B)$

Разбор

Прообраз уживается со всеми операциями. Образ уживается с объединением (точка попала в $f(A \cup B)$ ровно тогда, когда она пришла из $A$ или из $B$ ), но не с пересечением: пример с $x^2$ выше.

Главное свойство открытых множеств

Теорема.

Объединение любого семейства открытых множеств открыто.
Пересечение конечного числа открытых множеств открыто.

Доказательство

Если $x \in \bigcup_i G_i$ , то $x \in G_j$ для какого-то $j$ . Интервал вокруг $x$ , лежащий в $G_j$ , лежит и в объединении.
Если $x \in G_1 \cap \dots \cap G_n$ , то для каждого $k$ есть $\delta_k$ с $(x - \delta_k, x + \delta_k) \subset G_k$ . Тогда интервал полуширины $\delta = \min_k \delta_k > 0$ лежит во всех $G_k$ сразу.

Почему пересечение только конечное? Потому что мы взяли минимум по $\delta_k$ , а в бесконечном случае минимума может вообще не быть: там будет инфимум, который может равняться нулю.

\bigcap_{n=1}^{\infty} \Bigl(-\frac1n,\, \frac1n\Bigr) = \{0\},

а точка не открыта. Запас у точки $0$ есть в каждом интервале, но он сжимается до нуля.

Задача. Чему равно пересечение $\bigcap\limits_{n=1}^{\infty} \bigl(-\frac1n,\; 1 + \frac1n\bigr)$ ?

$(0, 1)$ , и оно открыто
$[0, 1]$ , и оно не открыто
$[0, 1)$ , и оно не открыто
$\varnothing$

Объединения особенно важны. Посмотрите: любое открытое множество $G$ является объединением интервалов. У каждой точки $x \in G$ есть свой интервал $I_x \subset G$ , и $G = \bigcup_{x \in G} I_x$ . Отсюда сразу следует полезная вещь.

Следствие.

Чтобы проверить непрерывность $f$ , достаточно проверить, что прообраз каждого интервала открыт.

Доказательство

Пусть $G$ открыто. Запишем его как объединение интервалов $G = \bigcup_i I_i$ . Тогда $f^{-1}(G) = \bigcup_i f^{-1}(I_i)$ . Это объединение открытых множеств, и по свойству 1 оно открыто.

Это очень важное свойство: нам не нужно проверять все открытые множества, достаточно интервалов, что гораздо проще. Позже это наблюдение приведёт нас к понятию базы топологии.

Мощь нового языка

Сравним два доказательства одного и того же факта.

Задача.

Докажите, что композиция непрерывных функций непрерывна: сначала через $\varepsilon$ и $\delta$ , потом через открытые множества.

Решение

Через $\varepsilon$ - $\delta$ : берём $\varepsilon$ , по непрерывности $g$ в точке $f(x_0)$ находим $\eta$ , по непрерывности $f$ в $x_0$ для этого $\eta$ находим $\delta$ , проверяем цепочку неравенств.

Через открытые множества: если $V$ открыто, то $(g \circ f)^{-1}(V) = f^{-1}\bigl(g^{-1}(V)\bigr)$ . Множество $g^{-1}(V)$ открыто, потому что $g$ непрерывна, а его прообраз открыт, потому что $f$ непрерывна. Всё.

Что получилось

Числа у нас остались ровно в одном месте: внутри определения открытого множества. Всё остальное можно выразить через него. Начнём с окрестностей: до сих пор окрестностью мы называли интервал вокруг точки, но удобнее определение пошире.

Определение (окрестность).

Окрестностью точки $x$ называется любое открытое множество, содержащее $x$ .

Далее мы будем пользоваться именно этим определением. Для непрерывности ничего не меняется.

Задача.

Докажите, что утверждение о непрерывности через окрестности остаётся верным и для окрестностей в новом смысле. То есть $f$ непрерывна в $x_0$ тогда и только тогда, когда для любого открытого $V \ni f(x_0)$ найдётся открытое $U \ni x_0$ , для которого $f(U) \subset V$ .

Подсказка

Понадобятся два факта: в любом открытом множестве вокруг его точки есть интервал вокруг неё, а интервал сам открыт.

Решение

Пусть верна версия с интервалами; проверим версию с открытыми множествами. Возьмём открытое $V \ni f(x_0)$ . В нём есть интервал $V'$ вокруг $f(x_0)$ . По версии с интервалами найдётся интервал $U$ вокруг $x_0$ с $f(U) \subset V' \subset V$ . Интервал открыт, так что $U$ подходит.

Обратно, пусть верна версия с открытыми множествами, и $V'$ — интервал вокруг $f(x_0)$ . Он открыт, поэтому есть открытое $U \ni x_0$ с $f(U) \subset V'$ . В $U$ есть интервал $U'$ вокруг $x_0$ , и $f(U') \subset f(U) \subset V'$ .

Значит, и непрерывность в точке, и непрерывность всюду говорят только об открытых множествах. Остаётся договориться, какие множества считать открытыми, и ε с δ больше не нужны.

Отсюда напрашивается смелый вопрос. А что, если взять какое-то другое множество: точки сферы, функции, слова, и как-то договориться, какие его подмножества считать открытыми? Тогда сразу появится понятие непрерывности, причём там, где никаких $\varepsilon$ и $\delta$ нет. Именно с этого и начинается топология.

В следующем уроке сделаем то же самое с последовательностями: перепишем сходимость без $\varepsilon$ и посмотрим, что говорит непрерывность по Гейне.