Гомеоморфизм · Введение в топологию

В каждой области математики есть свой ответ на вопрос «когда два объекта одинаковы». Две группы одинаковы, если между ними есть изоморфизм: биекция, которая сохраняет операцию. Два линейных пространства одинаковы, если между ними есть линейная биекция. Ни у кого не вызывает сомнений, что пространство многочленов степени не выше $2$ «то же самое», что $\mathbb{R}^3$ , хотя это разные множества.

В топологии структура — это открытые множества. Значит, два пространства одинаковы, если между ними есть биекция, которая переводит открытые множества в открытые, причём в обе стороны. Такая биекция называется гомеоморфизмом, и в этом уроке мы посмотрим, насколько непохожими на вид бывают гомеоморфные пространства.

Сначала посмотрим, какое место топология занимает среди геометрий. В 1872 году Феликс Клейн в Эрлангенской программе предложил смотреть на разные геометрии единообразно. Геометрия задаётся группой преобразований, и изучает она то, что эти преобразования не меняют.

Евклидова геометрия. Преобразования — движения. Они сохраняют длины, углы и площади, а две фигуры одинаковы, если они равны.
Аффинная геометрия. Преобразования — аффинные. Длины и углы уже не сохраняются, но остаются параллельность и отношения отрезков на одной прямой. Все треугольники становятся одинаковыми, как и все эллипсы.
Проективная геометрия. Остаются прямые, их пересечения и двойные отношения. Эллипс, парабола и гипербола становятся одной кривой.
Топология. Преобразования — гомеоморфизмы. Не остаётся ни прямых, ни длин, ни углов, а одинаковыми становятся квадрат и круг, интервал и прямая.

Чем больше группа, тем меньше она замечает и тем грубее классификация. Топология — самая грубая геометрия в этом ряду. Но то, что она всё-таки различает, — самые устойчивые свойства фигур: из скольких кусков фигура состоит, есть ли в ней дырки, можно ли её сжать в точку.

У каждой геометрии по Клейну две главные задачи.

Найти инварианты: свойства и числа, которые преобразования не меняют. В евклидовой геометрии это длины и углы. В топологии это хаусдорфовость, компактность, связность, а в последнем модуле эйлерова характеристика и петли.
Классифицировать фигуры с точностью до преобразований. Треугольники с точностью до движения задаются тремя сторонами. А классифицировать пространства с точностью до гомеоморфизма намного труднее, и для этого и нужны инварианты: если у двух пространств инвариант разный, они не гомеоморфны.

Почти весь оставшийся курс решает эти две задачи.

Правда, буквально в программу Клейна топология вписывается не совсем. Гомеоморфизмы пространства $X$ на себя образуют группу $\operatorname{Homeo}(X)$ , и можно было бы, как в аналитической геометрии с кривыми второго порядка, классифицировать фигуры в $\mathbb{R}^n$ с точностью до $\operatorname{Homeo}(\mathbb{R}^n)$ . Но в основном мы будем делать другое: сравнивать разные пространства между собой, не обращая внимания на то, как они лежат в объемлющем пространстве. А гомеоморфизмы между разными пространствами группы уже не образуют: композицию $g \circ f$ можно составить, только если $g$ определён там, куда приходит $f$ .

Эти два взгляда действительно различаются. Узел-трилистник и обычная окружность в $\mathbb{R}^3$ гомеоморфны как пространства: обе — замкнутые кривые без самопересечений. Но никакой гомеоморфизм $\mathbb{R}^3$ не переводит одну в другую, трилистник не развязать. Этим занимается теория узлов, а нам хватит внутреннего взгляда.

И всё же идея та же, что у Клейна: есть преобразования, и нас интересует то, что они не меняют. Поэтому топологию и относят к геометрии.

Замечание (Морфизмы и изоморфизмы).

Такая картина есть не только в геометрии. В алгебре группы сравнивают гомоморфизмами, а одинаковыми считают изоморфные группы. Линейные пространства сравнивают линейными отображениями, а топологические пространства — непрерывными. Во всех случаях есть объекты, «правильные» отображения между ними, которые можно композировать, и изоморфизмы: отображения, у которых есть обратное того же сорта. Этот общий каркас называется категорией. На этом языке гомеоморфизм — изоморфизм в категории топологических пространств и непрерывных отображений. И как мы сейчас увидим, обратимость отображения «как биекции» ещё не делает его изоморфизмом.

Когда пространства одинаковы

Определение (гомеоморфизм).

Отображение $f\colon X \to Y$ топологических пространств называется гомеоморфизмом, если оно биективно, непрерывно и обратное отображение $f^{-1}\colon Y \to X$ тоже непрерывно.

Пространства $X$ и $Y$ гомеоморфны, если между ними есть гомеоморфизм. Пишут $X \cong Y$ .

Гомеоморфизм — это «переименование точек»: открытое множество в $X$ после переименования становится открытым множеством в $Y$ , и наоборот. Поэтому всё, что сформулировано на языке открытых множеств, у гомеоморфных пространств одинаково.

Гомеоморфность — отношение эквивалентности. Тождественное отображение — гомеоморфизм, обратный к гомеоморфизму — гомеоморфизм, а композиция гомеоморфизмов — гомеоморфизм, ведь композиция непрерывных отображений непрерывна.

Первые примеры приходят из анализа. Пусть $f\colon I \to J$ — строго монотонная непрерывная функция между промежутками прямой, переводящая $I$ на $J$ . Тогда обратная функция тоже непрерывна: это теорема из анализа об обратной функции. Значит, $f$ — гомеоморфизм.

Любые два интервала гомеоморфны: $(a, b) \to (c, d)$ можно взять линейным.
Интервал гомеоморфен прямой: $(0, 1) \cong \mathbb{R}$ через $t \mapsto \operatorname{tg}\bigl(\pi(t - \tfrac12)\bigr)$ .
Луч гомеоморфен прямой: $(0, +\infty) \cong \mathbb{R}$ через $\ln$ .
Полуинтервал гомеоморфен лучу: $[0, 1) \cong [0, +\infty)$ через $t \mapsto \frac{t}{1 - t}$ .

Короткий интервал и вся прямая — одно и то же пространство. Длина, ограниченность, расстояния — всего этого топология не видит.

Непрерывной биекции мало

В линейной алгебре линейная биекция автоматически имеет линейное обратное отображение. В топологии это не так, и это главная ловушка урока.

Возьмём отображение $f\colon [0, 2\pi) \to S^1$ , $f(t) = (\cos t, \sin t)$ . Оно непрерывно и биективно: полуинтервал обходит окружность ровно один раз. Но оно не гомеоморфизм. Множество $[0, \varepsilon)$ открыто в $[0, 2\pi)$ , это окрестность нуля. А его образ — дуга с концом в точке $(1, 0)$ , причём этот конец в дугу входит. Такая дуга не открыта в $S^1$ : любая окрестность точки $(1, 0)$ на окружности содержит точки чуть ниже неё, а они в образ не попадают.

На языке обратного отображения: $f^{-1}$ разрывно в точке $(1, 0)$ . Точки окружности чуть ниже $(1, 0)$ близки к ней, а их прообразы близки к $2\pi$ , то есть далеки от $0$ .

Пример ещё проще: тождественное отображение из дискретной прямой в обычную. Из дискретного пространства непрерывно всё, а обратное отображение не непрерывно: точка открыта в дискретной прямой, но не в обычной. Так же непрерывно тождественное отображение $\mathbb{R}_S \to \mathbb{R}$ из прямой Зоргенфрея, а обратное нет. Вообще, тождественное отображение $(X, \tau_1) \to (X, \tau_2)$ — гомеоморфизм ровно тогда, когда $\tau_1 = \tau_2$ .

Проверять непрерывность обратного удобно через открытые отображения из прошлого урока.

Утверждение (гомеоморфизм через образы).

Для непрерывной биекции $f\colon X \to Y$ следующие условия эквивалентны:

$f$ — гомеоморфизм;
$f$ открыто: образ любого открытого множества открыт;
$f$ замкнуто: образ любого замкнутого множества замкнут.

Доказательство

1 ⇔ 2. Для обратного отображения $g = f^{-1}$ прообраз множества $U \subset X$ равен $g^{-1}(U) = f(U)$ . Поэтому непрерывность $g$ означает ровно то, что $f(U)$ открыто для любого открытого $U$ .

2 ⇔ 3. Так как $f$ — биекция, $f(X \setminus F) = Y \setminus f(F)$ . Поэтому образы открытых множеств — это дополнения образов замкнутых, и одно условие равносильно другому.

В модуле 3 мы увидим важный случай, когда проверять обратное не нужно вовсе: непрерывная биекция компактного пространства на хаусдорфово всегда гомеоморфизм. У $[0, 2\pi)$ это не сработало как раз потому, что полуинтервал не компактен.

Задача. Какие непрерывные биекции — гомеоморфизмы?

$x \mapsto x^3$ , $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$
$t \mapsto (\cos t, \sin t)$ , $[0, 2\pi) \to S^1$
$x \mapsto e^x$ , $\mathbb{R} \to (0, +\infty)$
тождественное, из прямой Зоргенфрея в обычную прямую
$x \mapsto 1/x$ , $(0, +\infty) \to (0, +\infty)$

Разбор

У $x^3$ обратная $\sqrt[3]{x}$ непрерывна, у $e^x$ обратная — $\ln x$ , а $1/x$ обратна сама себе. Про $[0, 2\pi) \to S^1$ мы только что выяснили, что обратное разрывно в точке $(1, 0)$ . А тождественное отображение $\mathbb{R} \to \mathbb{R}_S$ не непрерывно: $[0, 1)$ открыто в $\mathbb{R}_S$ , но не открыто в $\mathbb{R}$ .

Топологические свойства

Раз гомеоморфизм переносит открытые множества туда и обратно, он переносит и всё, что через них определяется.

Определение (топологическое свойство).

Свойство пространств называется топологическим, если вместе с любым пространством им обладают и все гомеоморфные ему пространства.

Это и есть те инварианты, о которых шла речь во введении: по Клейну геометрия изучает то, что не меняется при её преобразованиях, а у топологии преобразования — гомеоморфизмы. Они же — инструмент для второй задачи, классификации: если каким-то топологическим свойством одно пространство обладает, а другое нет, гомеоморфизма между ними нет.

Чтобы проверить, что свойство топологическое, достаточно заметить, что в его определении участвуют только открытые множества и теоретико-множественные операции. Например:

хаусдорфовость. Если $U$ и $V$ — непересекающиеся окрестности $a$ и $b$ , то $f(U)$ и $f(V)$ — непересекающиеся окрестности $f(a)$ и $f(b)$ ;
дискретность и антидискретность;
число точек, ведь гомеоморфизм — биекция;
изолированные точки переходят в изолированные, а предельные в предельные;
гомеоморфизм сохраняет замыкания: $f(\overline{A}) = \overline{f(A)}$ . В прошлом уроке у непрерывного $f$ было включение $\subset$ , а обратное включение даёт непрерывность $f^{-1}$ . Поэтому плотные множества переходят в плотные, граница в границу, внутренность во внутренность.

А вот ограниченность не топологическое свойство: $(0, 1) \cong \mathbb{R}$ , но интервал ограничен, а прямая нет. Ограниченность определяется через метрику, а топология метрику забывает. Это то, о чём шла речь в уроке про определение топологии (1.5): разные метрики могут задавать одну топологию, и тогда пространство может быть ограниченным в одной метрике и неограниченным в другой, хотя топология одна и та же.

Задача. Какие свойства топологические?

ограниченность метрического пространства
хаусдорфовость
в пространстве есть изолированная точка
в пространстве ровно $5$ точек
метрика пространства принимает только значения $0$ и $1$

Разбор

Хаусдорфовость, изолированные точки и число точек формулируются через открытые множества и биекции, поэтому сохраняются. Ограниченность ломается на $(0, 1) \cong \mathbb{R}$ . А последнее свойство говорит о метрике: $\mathbb{Z}$ с метрикой $|x - y|$ дискретно, как и $\mathbb{Z}$ с дискретной метрикой. Это одно и то же топологическое пространство, но значения метрики у них разные.

Стереографическая проекция

Главный геометрический пример: окружность без одной точки гомеоморфна прямой, а сфера без одной точки — плоскости.

Пусть $N = (0, 1)$ — северный полюс окружности $S^1$ . Для точки $P = (x, y) \ne N$ проведём луч из $N$ через $P$ до пересечения с горизонтальной прямой $y = 0$ . Точку пересечения обозначим $t$ . Из подобия треугольников

t = \frac{x}{1 - y}.

Точки нижней полуокружности уходят в интервал $(-1, 1)$ , верхней — во внешние лучи, и чем ближе $P$ к $N$ , тем дальше $t$ . Сама точка $N$ ушла бы «на бесконечность», поэтому её выкидываем.

Утверждение (стереографическая проекция).

Отображение $S^1 \setminus \{N\} \to \mathbb{R}$ , $(x, y) \mapsto \dfrac{x}{1 - y}$ , — гомеоморфизм. Обратное отображение

t \mapsto \left(\frac{2t}{t^2 + 1},\ \frac{t^2 - 1}{t^2 + 1}\right).

Точно так же $S^2 \setminus \{N\} \cong \mathbb{R}^2$ через $(x, y, z) \mapsto \dfrac{(x, y)}{1 - z}$ , а вообще $S^n \setminus \{N\} \cong \mathbb{R}^n$ .

Доказательство

Обе формулы — дроби с непрерывными числителями и знаменателями, которые не обращаются в ноль: на $S^1 \setminus \{N\}$ всегда $y < 1$ . Остаётся проверить, что они обратны друг другу.

Пусть $t \in \mathbb{R}$ и $(x, y)$ — точка из второй формулы. Она лежит на окружности:

x^2 + y^2 = \frac{4t^2 + (t^2 - 1)^2}{(t^2 + 1)^2} = \frac{(t^2 + 1)^2}{(t^2 + 1)^2} = 1,

и $y < 1$ . При этом $1 - y = \frac{2}{t^2 + 1}$ , так что $\frac{x}{1 - y} = t$ .

Обратно, пусть $(x, y) \in S^1$ , $y \ne 1$ , и $t = \frac{x}{1 - y}$ . Тогда $t^2 = \frac{x^2}{(1 - y)^2} = \frac{1 - y^2}{(1 - y)^2} = \frac{1 + y}{1 - y}$ , откуда $\frac{t^2 - 1}{t^2 + 1} = y$ и $\frac{2t}{t^2 + 1} = 2t \cdot \frac{1 - y}{2} = x$ .

Для сферы вычисление то же: с $s = u^2 + v^2$ обратное отображение $(u, v) \mapsto \frac{(2u,\ 2v,\ s - 1)}{s + 1}$ .

Вот так это выглядит для сферы. Плоскость проходит через экватор, экватор остаётся на месте, южная полусфера уходит внутрь единичного круга, северная — наружу.

Стереографическая проекция объясняет, почему комплексную плоскость удобно дополнять одной «бесконечно удалённой точкой» и получать сферу Римана. В модуле 3 эта конструкция появится как одноточечная компактификация.

Зоопарк гомеоморфизмов

Несколько гомеоморфизмов, которые постоянно пригождаются.

Открытый шар гомеоморфен всему пространству. Шар $B(0, 1) \subset \mathbb{R}^n$ переходит в $\mathbb{R}^n$ при растяжении вдоль лучей:

x \mapsto \frac{x}{1 - \|x\|}, \qquad y \mapsto \frac{y}{1 + \|y\|}.

Направление точки не меняется, а расстояние до центра $r \in [0, 1)$ переходит в $\frac{r}{1 - r} \in [0, +\infty)$ . При $n = 1$ это ещё один гомеоморфизм $(-1, 1) \cong \mathbb{R}$ .

Квадрат гомеоморфен кругу. Углы для топологии не важны. Будем снова растягивать вдоль лучей, но так, чтобы граница квадрата перешла в окружность. Помогают нормы из урока «Зоопарк метрик» (1.4): квадрат $[-1, 1]^2$ — это $\{\|x\|_\infty \le 1\}$ , а круг — $\{\|x\|_2 \le 1\}$ . Положим

f(x) = \frac{\|x\|_\infty}{\|x\|_2}\, x \quad (x \ne 0), \qquad f(0) = 0.

Тогда $\|f(x)\|_2 = \|x\|_\infty$ , и точка с $\|x\|_\infty = r$ переходит в точку с $\|f(x)\|_2 = r$ на том же луче. Обратное отображение — $y \mapsto \frac{\|y\|_2}{\|y\|_\infty}\, y$ .

Почему это гомеоморфизм

Вне нуля обе формулы непрерывны: нормы непрерывны и не обращаются в ноль. В нуле $\|f(x)\|_2 = \|x\|_\infty \le \|x\|_2 \to 0$ , так что $f$ непрерывно. Для обратного $\bigl\|\frac{\|y\|_2}{\|y\|_\infty} y\bigr\|_2 = \frac{\|y\|_2^2}{\|y\|_\infty} \le \sqrt{2}\, \|y\|_2 \to 0$ , потому что $\|y\|_2 \le \sqrt{2}\, \|y\|_\infty$ . Отображения обратны друг другу, потому что сохраняют лучи и переставляют нормы $\|\cdot\|_\infty$ и $\|\cdot\|_2$ .

Так же любой выпуклый многоугольник гомеоморфен кругу, а любой выпуклый многогранник — шару: лучи надо выпускать из какой-нибудь внутренней точки. Вообще, любое выпуклое ограниченное замкнутое множество в $\mathbb{R}^n$ с непустой внутренностью гомеоморфно замкнутому шару.

График непрерывной функции гомеоморфен её области определения. Пусть $\varphi\colon X \to \mathbb{R}$ непрерывна, $X \subset \mathbb{R}$ , и $\Gamma = \{(x, \varphi(x))\} \subset \mathbb{R}^2$ — график. Отображение $x \mapsto (x, \varphi(x))$ непрерывно, потому что непрерывны обе координаты, а обратное к нему — проекция $(x, y) \mapsto x$ , суженная на $\Gamma$ . Поэтому парабола гомеоморфна прямой, а график $\sin(1/x)$ на $(0, 1]$ — полуинтервалу $(0, 1]$ . А вот его замыкание, которое мы искали в уроке про замыкание и внутренность (2.2), полуинтервалу уже не гомеоморфно. Почему, станет ясно в модуле 3: замыкание компактно, а полуинтервал нет.

Задача. Какие пары пространств гомеоморфны? Везде обычная топология и подпространства.

$(0, 1)$ и $(0, +\infty)$
окружность без точки и прямая
парабола $\{y = x^2\}$ и прямая
$\mathbb{Z}$ и $\mathbb{N}$
$\mathbb{Z}$ и $\mathbb{Q}$
открытый квадрат $(0, 1)^2$ и плоскость

Разбор

$(0, 1) \cong \mathbb{R} \cong (0, +\infty)$ . Окружность без точки — стереографическая проекция. Парабола — график непрерывной функции. $\mathbb{Z}$ и $\mathbb{N}$ дискретны и счётны, а любая биекция между дискретными пространствами — гомеоморфизм. А $\mathbb{Q}$ не дискретно, поэтому $\mathbb{Z} \not\cong \mathbb{Q}$ . Наконец, открытый квадрат гомеоморфен открытому кругу тем же растяжением вдоль лучей, а открытый круг — плоскости.

Как доказывать, что пространства не гомеоморфны

Чтобы доказать гомеоморфность, достаточно предъявить гомеоморфизм. А чтобы доказать, что пространства не гомеоморфны, нужно найти топологическое свойство, которое у одного есть, а у другого нет. Перебрать все биекции невозможно.

Некоторые различия мы видим уже сейчас:

$\mathbb{Z} \not\cong \mathbb{Q}$ : первое дискретно, второе нет;
обычная прямая не гомеоморфна прямой с конечно-дополнительной топологией: первая хаусдорфова, вторая нет;
$\{0\} \cup \{1/n\}$ не гомеоморфно $\mathbb{N}$ : у первого есть предельная точка.

Но как понять, что $\mathbb{R} \not\cong \mathbb{R}^2$ , что отрезок не гомеоморфен прямой, а сфера — тору? Все свойства, что у нас пока есть, у этих пространств одинаковы. Доказывать негомеоморфность — одна из главных задач топологии, и в следующих модулях мы будем постепенно набирать для этого приёмы:

компактность отличит отрезок от прямой и интервала;
связность отличит прямую от плоскости, а интервал от полуинтервала;
эйлерова характеристика отличит сферу от тора;
петли отличат плоскость без точки от плоскости и покажут, что окружность нельзя непрерывно стянуть в точку.

Каждый такой приём — новое топологическое свойство или новый инвариант.

Задача. Какие пары пространств можно уже сейчас отличить друг от друга, то есть доказать, что они не гомеоморфны?

$\mathbb{N}$ и $\{0\} \cup \{1/n : n \in \mathbb{N}\}$
$\mathbb{Z}$ и $\{1/n : n \in \mathbb{N}\}$
$\mathbb{R}$ и $\mathbb{R}$ с конечно-дополнительной топологией
$(0, 1)$ и $\mathbb{R}$
$\mathbb{Q}$ и $\mathbb{Z}$

Разбор

У $\{0\} \cup \{1/n\}$ есть предельная точка $0$ , а $\mathbb{N}$ дискретно. Обычная прямая хаусдорфова, а с конечно-дополнительной топологией нет. $\mathbb{Q}$ не дискретно, а $\mathbb{Z}$ дискретно. Зато $\mathbb{Z}$ и $\{1/n\}$ оба дискретны и счётны, так что любая биекция между ними — гомеоморфизм. А $(0, 1) \cong \mathbb{R}$ , это мы уже видели.

Вложения

Часто одно пространство сидит внутри другого: окружность в плоскости, отрезок в прямой, график в плоскости. Чтобы говорить об этом без привязки к конкретному подмножеству, вводят вложения.

Определение (вложение).

Непрерывное инъективное отображение $f\colon X \to Y$ называется вложением, если $f\colon X \to f(X)$ — гомеоморфизм, где $f(X)$ рассматривается как подпространство $Y$ .

Включение подпространства $A \hookrightarrow X$ — вложение. Отображение $x \mapsto (x, \varphi(x))$ из прошлого шага — вложение прямой в плоскость, а обратная стереографическая проекция — вложение прямой в плоскость, образ которого — окружность без точки.

Непрерывной инъекции снова мало. Отображение $[0, 2\pi) \to \mathbb{R}^2$ , $t \mapsto (\cos t, \sin t)$ непрерывно и инъективно, но не вложение: на образ, окружность, оно не гомеоморфизм. Ещё нагляднее «восьмёрка»:

f\colon (-\pi, \pi) \to \mathbb{R}^2, \qquad f(t) = (\sin 2t,\ \sin t).

Это отображение инъективно: при $t \to \pm\pi$ точка $f(t)$ подходит к началу координат, но никогда его не достигает, ведь $\pm\pi$ в интервал не входят. Начало координат — это $f(0)$ .

Окрестность нуля $(-\delta, \delta)$ переходит в маленькую дугу. Но эта дуга не открыта в восьмёрке: любой круг вокруг начала координат задевает ещё и хвосты кривой при $t$ , близких к $\pm\pi$ . На языке обратного отображения: точки хвостов близки к $f(0)$ , а их прообразы близки к $\pm\pi$ , то есть далеки от $0$ .

Задача. Какие отображения — вложения?

включение $[0, 1] \to \mathbb{R}$
$t \mapsto (t, t^2)$ , $\mathbb{R} \to \mathbb{R}^2$
$t \mapsto (\cos t, \sin t)$ , $[0, 2\pi) \to \mathbb{R}^2$
$t \mapsto (\cos t, \sin t)$ , $(0, 2\pi) \to \mathbb{R}^2$
$x \mapsto e^x$ , $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$

Разбор

Включение подпространства — вложение по определению. Парабола — график непрерывной функции. Полуинтервал $[0, 2\pi)$ мы разбирали: обратное разрывно в $(1, 0)$ . А на интервале $(0, 2\pi)$ точка $(1, 0)$ в образ не входит, образ — окружность без точки, и обратное отображение — непрерывная функция «угол точки», принимающая значения в $(0, 2\pi)$ . Наконец, $e^x$ — гомеоморфизм на свой образ $(0, +\infty)$ с обратным $\ln$ .

Что получилось

Гомеоморфизм — непрерывная биекция с непрерывным обратным. Гомеоморфные пространства неразличимы с точки зрения топологии.
Непрерывной биекции мало: $[0, 2\pi) \to S^1$ и тождественное отображение из дискретной прямой. Непрерывная биекция — гомеоморфизм ровно тогда, когда она открыта, или замкнута.
Топологические свойства переносятся гомеоморфизмами: хаусдорфовость, дискретность, изолированные точки, плотность. Ограниченность — нет: $(0, 1) \cong \mathbb{R}$ .
Примеры: все интервалы и прямая; окружность без точки и прямая, сфера без точки и плоскость (стереографическая проекция); шар и $\mathbb{R}^n$ ; квадрат и круг; график непрерывной функции и её область определения.
Негомеоморфность доказывают топологическими свойствами. Пока у нас их немного, а в следующих модулях добавятся компактность, связность, эйлерова характеристика и петли.
Вложение — гомеоморфизм на образ.

В следующем уроке, последнем в модуле, разберёмся, почему в общих топологических пространствах последовательностей не хватает, чтобы описать замыкание и непрерывность, и какие условия счётности это исправляют.