База топологии · Введение в топологию

Топология — это семейство всех открытых множеств. Обычно их невообразимо много, и перечислить их невозможно. Но в метрических пространствах мы с этим как-то справлялись: открытые множества мы описывали через шары.

На самом деле каждое открытое множество метрического пространства — это просто объединение шаров. Если $U$ открыто, то вокруг каждой точки $x \in U$ есть шар $B(x, r_x) \subset U$ , и

U = \bigcup_{x \in U} B(x, r_x).

Каждый шар лежит в $U$ , поэтому объединение лежит в $U$ . А каждая точка $U$ лежит в своём шаре, поэтому объединение покрывает всё $U$ .

Значит, чтобы знать топологию метрического пространства, достаточно знать шары: всё остальное из них собирается. В этом уроке мы сделаем то же самое для любой топологии. Мы научимся задавать топологию небольшим набором открытых множеств, из которых складываются все остальные открытые множества. Многие вопросы можно проверять только на этом небольшом наборе, что заметно проще, да и понимания структуры топологии тоже может дать немало.

База

Определение (база).

Пусть $(X, \tau)$ — топологическое пространство. Семейство $\mathcal{B}$ открытых множеств называется базой топологии $\tau$ , если каждое открытое множество — объединение каких-то элементов $\mathcal{B}$ .

Важно, что элементы базы сами открыты: база — это часть топологии, а не что-то снаружи. Пустое множество тоже годится: это объединение пустого набора элементов.

Проверять определение напрямую неудобно, поэтому обычно пользуются критерием. Он говорит ровно то, что мы видели у шаров: вокруг каждой точки открытого множества помещается элемент базы.

Утверждение (критерий базы).

Семейство $\mathcal{B}$ открытых множеств — база топологии $\tau$ тогда и только тогда, когда для любого открытого $U$ и любой точки $x \in U$ найдётся $B \in \mathcal{B}$ , такое что $x \in B \subset U$ .

Доказательство

Пусть $\mathcal{B}$ — база и $x \in U$ . Тогда $U$ — объединение элементов $\mathcal{B}$ , и $x$ лежит в одном из них. Этот элемент и есть $B$ : он содержит $x$ и лежит в $U$ .

Обратно, пусть условие выполнено и $U$ открыто. Для каждой точки $x \in U$ выберем $B_x \in \mathcal{B}$ с $x \in B_x \subset U$ . Тогда $U = \bigcup_{x \in U} B_x$ : каждое $B_x$ лежит в $U$ , и каждая точка $U$ лежит в своём $B_x$ . Это то же рассуждение, что и с шарами.

Вот несколько примеров.

Шары в любом метрическом пространстве — база. Это мы проверили в начале урока.
Можно брать не все шары. Например, хватит шаров радиуса $1/n$ : в любой шар $B(x, r)$ влезает шар $B(x, 1/n)$ с $1/n < r$ .
На $\mathbb{R}^n$ хватит даже шаров с рациональными центрами и рациональными радиусами. Их счётное число, поэтому у $\mathbb{R}^n$ есть счётная база. Пространства со счётной базой ведут себя хорошо, и мы ещё не раз это используем.
В дискретной топологии база — одноточечные множества. Более того, любая база дискретной топологии обязана содержать все одноточия: множество $\{x\}$ открыто, и элемент базы между $x$ и $\{x\}$ может быть только самим $\{x\}$ .
Сама топология $\tau$ — тоже база, хотя и бесполезная.

Видно, что база не единственна: у одной топологии много разных баз.

Почему хватит рациональных шаров

Пусть $U$ открыто и $x \in U$ , тогда $B(x, r) \subset U$ для некоторого $r > 0$ . Возьмём рациональное $q$ с $0 < q < r/2$ и точку $c$ с рациональными координатами, для которой $\rho(x, c) < q$ . Она есть, потому что точки с рациональными координатами всюду плотны. Тогда $x \in B(c, q)$ , а по неравенству треугольника любая точка $B(c, q)$ находится от $x$ на расстоянии меньше $2q < r$ . Значит, $x \in B(c, q) \subset B(x, r) \subset U$ , и по критерию это база.

Задача. Какие семейства являются базой обычной топологии на прямой?

Интервалы $(a, b)$ с рациональными концами
Интервалы $(a, b)$ длины меньше $1$
Интервалы $(a, b)$ длины ровно $1$
Полуинтервалы $[a, b)$
Лучи $(a, +\infty)$ и $(-\infty, b)$

Разбор

Первые два семейства проходят критерий: внутрь любого интервала вокруг точки $x$ помещается маленький интервал с рациональными концами, и его длина меньше $1$ .

Интервал длины ровно $1$ не влезает в $(0, 1/2)$ , так что это множество не собрать. Полуинтервалы не годятся по более простой причине: $[a, b)$ не открыт в обычной топологии, а элементы базы обязаны быть открытыми. Лучи открыты, но слишком велики: ни один луч не лежит в $(0, 1)$ .

Когда семейство задаёт топологию

До сих пор топология $\tau$ была дана заранее, и мы проверяли, является ли $\mathcal{B}$ её базой. Но чаще хочется наоборот: взять какое-то семейство $\mathcal{B}$ и объявить открытыми все объединения его элементов. Это два разных вопроса:

является ли $\mathcal{B}$ базой данной топологии $\tau$ ;
задаёт ли $\mathcal{B}$ вообще какую-нибудь топологию.

Во втором вопросе $\tau$ нет, её только предстоит построить. И не всякое семейство годится. Вспомните квиз из урока про определение топологии (1.5): семейство $\varnothing$ , $\{a, b\}$ , $\{b, c\}$ , $X$ на множестве $X = \{a, b, c\}$ не было топологией. Объединения тут ничего не добавят: пересечение $\{a, b\} \cap \{b, c\} = \{b\}$ из этих множеств не собрать.

Оказывается, это единственное, что может сломаться.

Теорема (когда семейство — база какой-то топологии).

Пусть $\mathcal{B}$ — семейство подмножеств $X$ . Все объединения элементов $\mathcal{B}$ образуют топологию тогда и только тогда, когда:

$\mathcal{B}$ покрывает $X$ , то есть каждая точка лежит в каком-то элементе;
для любых $B_1, B_2 \in \mathcal{B}$ и любой точки $x \in B_1 \cap B_2$ найдётся $B_3 \in \mathcal{B}$ , такой что $x \in B_3 \subset B_1 \cap B_2$ .

В этом случае $\mathcal{B}$ — база построенной топологии.

Схема доказательства

Объединение объединений — снова объединение, тут проверять нечего. Всё $X$ должно быть объединением элементов, это первое условие. Остаётся пересечение. Пересечение двух объединений раскладывается в объединение попарных пересечений $B_1 \cap B_2$ , поэтому достаточно, чтобы каждое $B_1 \cap B_2$ собиралось из элементов. А это по тому же рассуждению, что в критерии базы, и есть второе условие.

Доказательство

Обозначим через $\tau_{\mathcal{B}}$ семейство всех объединений элементов $\mathcal{B}$ .

Пусть условия выполнены. Пустое множество — пустое объединение. $X$ — объединение всех элементов $\mathcal{B}$ по первому условию. Объединение множеств из $\tau_{\mathcal{B}}$ — тоже объединение элементов $\mathcal{B}$ . Наконец, пусть $U = \bigcup_\alpha B_\alpha$ и $V = \bigcup_\beta C_\beta$ . Тогда

U \cap V = \bigcup_{\alpha, \beta} (B_\alpha \cap C_\beta),

и достаточно, чтобы каждое $B_\alpha \cap C_\beta$ лежало в $\tau_{\mathcal{B}}$ . По второму условию вокруг каждой точки $x \in B_\alpha \cap C_\beta$ есть $B_x \in \mathcal{B}$ внутри пересечения, и тогда $B_\alpha \cap C_\beta = \bigcup_x B_x$ .

Обратно, пусть $\tau_{\mathcal{B}}$ — топология. Тогда $X \in \tau_{\mathcal{B}}$ , то есть $X$ — объединение элементов, и каждая точка лежит в одном из них. Это первое условие. Кроме того, $B_1 \cap B_2 \in \tau_{\mathcal{B}}$ , то есть пересечение — объединение элементов, и точка $x$ лежит в одном из них. Это второе условие.

Элементы $\mathcal{B}$ лежат в $\tau_{\mathcal{B}}$ , и всё открытое из них собирается. Значит, $\mathcal{B}$ — база.

В примере с $\{a, b\}$ и $\{b, c\}$ второе условие нарушено: точка $b$ лежит в пересечении, но ни один элемент семейства не помещается в $\{b\}$ .

Прямая Зоргенфрея

А вот пример, ради которого теорема и нужна. Возьмём на прямой все полуинтервалы $[a, b)$ . Они покрывают прямую, а пересечение двух полуинтервалов — снова полуинтервал или пустое множество. Так что оба условия выполнены, и полуинтервалы задают топологию. Прямая с этой топологией называется прямой Зоргенфрея, мы будем обозначать её $\mathbb{R}_S$ .

Описать её открытые множества напрямую было бы трудно, а через базу это одна строчка. Окрестности точки $x$ здесь смотрят только вправо: самые маленькие из них — это $[x, x + \varepsilon)$ .

Задача. Какие множества открыты на прямой Зоргенфрея?

Разбор

$[0, 1)$ — элемент базы. $(0, 1) = \bigcup_n [1/n, 1)$ , а $[0, +\infty) = \bigcup_n [0, n)$ . В $(0, 1]$ нет полуинтервала $[1, 1 + \varepsilon)$ вокруг точки $1$ , а в $\{0\}$ нет полуинтервала вокруг $0$ .

Заметьте, что $[0, 1)$ ещё и замкнут: его дополнение $(-\infty, 0) \cup [1, +\infty)$ открыто. На обычной прямой открыто-замкнутых множеств, кроме $\varnothing$ и $\mathbb{R}$ , нет, а здесь их сколько угодно.

Задача. Какие последовательности сходятся к $0$ на прямой Зоргенфрея?

$1/n$
$-1/n$
$(-1)^n/n$
$1/n^2$

Разбор

Окрестность $[0, \varepsilon)$ содержит все положительные числа меньше $\varepsilon$ , поэтому $1/n$ и $1/n^2$ сходятся к $0$ . А в окрестности $[0, 1)$ нет ни одного отрицательного числа, так что $-1/n$ к нулю не сходится, а у $(-1)^n/n$ туда не попадают все нечётные члены. Сходиться на прямой Зоргенфрея можно только справа.

Непрерывность через базу

Вот ради чего базы и нужны на практике. Чтобы проверить непрерывность, не нужно перебирать все открытые множества, достаточно кирпичиков.

Утверждение (непрерывность через базу).

Пусть $\mathcal{B}$ — база топологии на $Y$ . Отображение $f\colon X \to Y$ непрерывно тогда и только тогда, когда прообраз каждого элемента $\mathcal{B}$ открыт.

Доказательство

Если $f$ непрерывна, то прообразы всех открытых множеств открыты, в частности элементов базы. Обратно, любое открытое $V \subset Y$ — объединение $\bigcup_\alpha B_\alpha$ элементов базы, а прообраз объединения — объединение прообразов:

f^{-1}(V) = \bigcup_\alpha f^{-1}(B_\alpha).

Это объединение открытых множеств, так что оно открыто.

Мы этим уже давно пользуемся, просто не говорили об этом. Определение «на языке $\varepsilon$ и $\delta$ » — это проверка прообразов шаров. А для функции $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ хватает прообразов интервалов, и даже только интервалов с рациональными концами.

Теперь посмотрим на прямую Зоргенфрея. Непрерывно ли отображение $x \mapsto -x$ из $\mathbb{R}_S$ в $\mathbb{R}_S$ ? Прообраз элемента базы $[a, b)$ равен $(-b, -a]$ . Это множество не открыто: в нём нет полуинтервала вокруг $-a$ . Значит, $x \mapsto -x$ не непрерывно. Симметрия прямой, которая обычно бесплатна, тут ломается: у прямой Зоргенфрея есть выделенное направление.

Задача. Какие отображения $\mathbb{R}_S \to \mathbb{R}_S$ непрерывны?

Разбор

Проверяем прообразы полуинтервалов. У сдвига прообраз $[a, b)$ — это $[a - 1, b - 1)$ , у умножения на $2$ — $[a/2, b/2)$ , у куба — $[\sqrt[3]{a}, \sqrt[3]{b})$ . Все они открыты. Прообраз при постоянном отображении — пустое множество или вся прямая. А $x \mapsto -x$ переворачивает полуинтервал в $(-b, -a]$ . Общее правило: возрастающие непрерывные биекции сохраняют направление, а убывающие нет.

Сравнение топологий

На одном множестве бывает много топологий, и их можно сравнивать.

Определение (сильнее и слабее).

Топология $\tau_1$ сильнее топологии $\tau_2$ на том же множестве (а $\tau_2$ слабее $\tau_1$ ), если $\tau_2 \subset \tau_1$ , то есть каждое $\tau_2$ -открытое множество открыто и в $\tau_1$ .

Самая сильная топология — дискретная, в ней открыто всё. Самая слабая — антидискретная. Бывают и несравнимые топологии: каждая содержит множество, которого нет в другой.

Сравнивать удобно двумя способами: через тождественное отображение или через базы.

Утверждение (критерии сравнения).

Пусть $\tau_1$ и $\tau_2$ — топологии на $X$ с базами $\mathcal{B}_1$ и $\mathcal{B}_2$ . Следующие условия равносильны:

$\tau_1$ сильнее $\tau_2$ ;
тождественное отображение $\mathrm{id}\colon (X, \tau_1) \to (X, \tau_2)$ непрерывно;
для любого $B_2 \in \mathcal{B}_2$ и любой точки $x \in B_2$ найдётся $B_1 \in \mathcal{B}_1$ , такой что $x \in B_1 \subset B_2$ .

Доказательство

1 ⇔ 2. Прообраз множества $V$ при тождественном отображении — само $V$ . Поэтому непрерывность $\mathrm{id}$ означает ровно то, что каждое $\tau_2$ -открытое множество $\tau_1$ -открыто.

1 ⇒ 3. Элемент $B_2$ открыт в $\tau_2$ , значит, и в $\tau_1$ . По критерию базы для $\mathcal{B}_1$ вокруг $x$ внутри $B_2$ есть $B_1$ .

3 ⇒ 1. Условие 3 вместе с рассуждением из критерия базы показывает, что каждое $B_2$ — объединение элементов $\mathcal{B}_1$ , то есть $B_2 \in \tau_1$ . Любое $\tau_2$ -открытое множество — объединение элементов $\mathcal{B}_2$ , значит, оно тоже лежит в $\tau_1$ .

Это обобщает утверждение о сравнимых метриках из урока «Зоопарк метрик» (1.4). Там из $\sigma \le b\rho$ мы выводили, что в каждый $\sigma$ -шар вокруг $x$ влезает $\rho$ -шар вокруг $x$ . Это и есть условие 3 для баз из шаров, а неравенство с множителем было лишь удобным способом его проверить. Поэтому квадраты и круги на картинке задают одну и ту же топологию.

Но условие 3 локальное: для каждой точки и каждого элемента базы свой маленький элемент, никаких общих множителей. Отсюда сразу закрывается пример из урока «Зоопарк метрик» (1.4). Шар метрики $|x^3 - y^3|$ с центром $x$ — это множество $y$ , у которых $y^3$ лежит в интервале вокруг $x^3$ , то есть снова интервал вокруг $x$ . В него влезает обычный интервал вокруг $x$ , и наоборот. Значит, $|x - y|$ и $|x^3 - y^3|$ задают одну топологию, хотя множителями они не сравнимы.

Теперь прямая Зоргенфрея. Любой интервал собирается из полуинтервалов, $(a, b) = \bigcup_n [a + 1/n, b)$ , поэтому топология $\mathbb{R}_S$ сильнее обычной. А $[0, 1)$ в обычной топологии не открыт, так что она строго сильнее. На языке критерия 2: $\mathrm{id}\colon \mathbb{R}_S \to \mathbb{R}$ непрерывно, а в обратную сторону нет. Ровно так же было с парижской метрикой в уроке «Зоопарк метрик» (1.4): тождественное отображение из парижской плоскости в обычную непрерывно, а обратно нет. Значит, парижская топология строго сильнее обычной.

Полезно запомнить, что меняется при усилении топологии. Открытых множеств становится больше, поэтому из сильной топологии легче быть непрерывным, а в ней труднее сходиться. Именно поэтому $-1/n$ к нулю на обычной прямой сходится, а на прямой Зоргенфрея уже нет.

Задача. Какие тождественные отображения прямой непрерывны?

$\mathbb{R}_S \to \mathbb{R}$
$\mathbb{R} \to \mathbb{R}_S$
из дискретной прямой в $\mathbb{R}_S$
из $\mathbb{R}_S$ в дискретную прямую
из $\mathbb{R}_S$ в прямую с конечно-дополнительной топологией

Разбор

Тождественное отображение непрерывно ровно тогда, когда топология слева сильнее топологии справа. Цепочка такая: конечно-дополнительная слабее обычной, обычная слабее Зоргенфрея, а Зоргенфрея слабее дискретной. Одноточие $\{0\}$ в $\mathbb{R}_S$ не открыто, поэтому тождественное отображение из $\mathbb{R}_S$ в дискретную прямую не непрерывно.

Что получилось

База — семейство открытых множеств, из которых объединениями собирается вся топология. Проверять удобно критерием: вокруг каждой точки открытого множества помещается элемент базы.
Задать топологию базой можно, только если семейство покрывает всё и вокруг каждой точки пересечения двух элементов помещается третий. Так получилась прямая Зоргенфрея, у которой окрестности смотрят только вправо.
Непрерывность достаточно проверять на элементах базы. Для метрик это проверка шаров, то есть привычные $\varepsilon$ и $\delta$ .
Сравнивать топологии можно через тождественное отображение или через базы. Это обобщает сравнимые метрики из урока «Зоопарк метрик» (1.4) и объясняет, почему $|x - y|$ и $|x^3 - y^3|$ задают одну топологию.

В следующем уроке разберём, как в топологическом пространстве устроены внутренность, замыкание и граница множества.