Что такое расстояние · Введение в топологию

В двух прошлых уроках мы переписали непрерывность и пределы через окрестности и открытые множества. Но сами открытые множества мы определяли через интервалы, то есть через расстояние $|x - y|$ между числами.

Расстояние бывает не только между числами. Есть расстояние между точками плоскости, между городами по дорогам, между словами (сколько букв надо поменять), между функциями. Хочется, чтобы непрерывность и сходимость работали и там.

Цель урока: понять, что именно мы хотим от расстояния, записать это аксиомами и посмотреть, как в таких «мирах с расстоянием» выглядят открытые множества, сходимость и непрерывность. Что-то останется как в $\mathbb{R}$ , а что-то окажется совсем не таким, как подсказывает интуиция.

Что мы хотим от расстояния. Попробуем сказать словами, каким должно быть любое разумное расстояние:

Первое, что приходит в голову: расстояние не бывает отрицательным. При этом нулю оно равно ровно тогда, когда мы ищем расстояние от точки до неё самой (от $x$ до $x$ ).
Второе: расстояние симметрично. От $x$ до $y$ столько же, сколько от $y$ до $x$ .
Ну и третье: если мы по дороге куда-то заезжаем, путь не короче, чем если ехать напрямую: $|x - z| \le |x - y| + |y - z|$ . Это называется неравенством треугольника.

Интересно, что почти ничего другого нам и не понадобится. Если пересмотреть основные доказательства из прошлых уроков, они держатся именно на этих трёх свойствах модуля разности, а формулы и вычитание там почти не участвуют.

Определение (метрика).

Пусть $X$ — множество. Метрика на $X$ — это функция $\rho\colon X \times X \to \mathbb{R}$ , такая что для любых $x, y, z \in X$ :

$\rho(x, y) \ge 0$ , и $\rho(x, y) = 0$ тогда и только тогда, когда $x = y$ ;
$\rho(x, y) = \rho(y, x)$ ;
$\rho(x, z) \le \rho(x, y) + \rho(y, z)$ (неравенство треугольника).

Пара $(X, \rho)$ называется метрическим пространством.

Посмотрим, что сломается, если выбросить одно из требований.

Без «нуля только у самой точки». Пусть мы разрешили $\rho(x, y) = 0$ при $x \ne y$ . Например, на плоскости меряем расстояние только по первой координате: $\rho(x, y) = |x_1 - y_1|$ . Тогда точки $(0, 0)$ и $(0, 5)$ «совпадают» с точки зрения расстояния, и любая последовательность, которая сходится к одной из них, сходится и к другой. Предел перестаёт быть единственным, а расстояние перестаёт различать точки.

Без симметрии. Представьте город с односторонними улицами или гору: подниматься на вершину час, а спускаться пятнадцать минут. Такие «расстояния» в жизни бывают, но тогда « $y$ близко к $x$ » и « $x$ близко к $y$ » означают разное, и у одного шара появляются два разных смысла. Чтобы не путаться, требуем $\rho(x, y) = \rho(y, x)$ .

Без неравенства треугольника. Это главная аксиома. Она говорит, что близость «передаётся»: если $x$ близко к $y$ , а $y$ близко к $z$ , то и $x$ не слишком далеко от $z$ . На ней держатся почти все доказательства. В частности, без неё шар может оказаться не открытым множеством, и вся конструкция из первого урока развалится. Совсем скоро мы увидим, как именно она работает.

Задача.

А вот неотрицательность можно было не требовать. Докажите, что она следует из остальных аксиом: из того, что $\rho(x, x) = 0$ , симметрии и неравенства треугольника.

Решение

$0 = \rho(x, x) \le \rho(x, y) + \rho(y, x) = 2\rho(x, y)$ , поэтому $\rho(x, y) \ge 0$ .

Задача. Какие из функций являются метриками на $\mathbb{R}$ ?

$\rho(x, y) = (x - y)^2$
$\rho(x, y) = |x^3 - y^3|$
$\rho(x, y) = \dfrac{|x - y|}{1 + |x - y|}$
$\rho(x, y) = |x| + |y|$

Разбор

$(x - y)^2$ ломает неравенство треугольника: $\rho(0, 2) = 4$ , а $\rho(0, 1) + \rho(1, 2) = 2$ . $|x^3 - y^3|$ — это обычное расстояние между числами $x^3$ и $y^3$ , а $x \mapsto x^3$ взаимно однозначно, так что все аксиомы переносятся. Для третьей функции заметим, что $t \mapsto \frac{t}{1+t}$ возрастает и $\frac{a+b}{1+a+b} \le \frac{a}{1+a} + \frac{b}{1+b}$ , отсюда неравенство треугольника. Наконец, у $|x| + |y|$ расстояние от точки $1$ до самой себя равно $2$ , а не $0$ .

Примеры

Метрик очень много, подробно мы разберём их в следующем уроке. Пока просто перечислим несколько, чтобы было на что опираться.

На $\mathbb{R}^2$ евклидово расстояние $\sqrt{(x_1 - y_1)^2 + (x_2 - y_2)^2}$ , по линейке.
На $\mathbb{R}^2$ манхэттенское $|x_1 - y_1| + |x_2 - y_2|$ , как такси по сетке кварталов.
На $\mathbb{R}^2$ максимум $\max(|x_1 - y_1|,\, |x_2 - y_2|)$ , как король на шахматной доске.
Любое подмножество метрического пространства с тем же расстоянием, например $\mathbb{Z}$ с расстоянием $|x - y|$ .
Дискретная метрика на любом множестве: $\rho(x, y) = 1$ при $x \ne y$ и $\rho(x, x) = 0$ . Все точки находятся друг от друга на одном и том же расстоянии. Это наш главный полигон для контрпримеров в этом уроке.

Шары и открытые множества

В $\mathbb{R}$ мы брали интервалы вокруг точки. Здесь их место занимают шары.

Определение (открытый шар).

Открытый шар с центром $x$ и радиусом $r > 0$ — это

B(x, r) = \{\, y \in X : \rho(x, y) < r \,\}.

Определение открытого множества переносится дословно, только интервал меняется на шар.

Определение (открытое множество).

Множество $G \subset X$ открыто, если вместе с каждой своей точкой оно содержит и какой-нибудь шар вокруг неё:

\forall x \in G \;\; \exists r > 0: \quad B(x, r) \subset G .

Окрестностью точки, как и раньше, называется любое открытое множество, которое её содержит.

Какой формы бывают шары. Шары в $\mathbb{R}^2$ с привычными метриками выглядят как круги, ромбы или квадраты. Легко решить, что форма шара как-то связана с геометрией плоскости. Проверим, так ли это.

Задача (шар-треугольник и шар-смайлик).

Придумайте метрику на плоскости, в которой шар радиуса $1$ с центром в нуле — треугольник, а шар радиуса $2$ с тем же центром — смайлик, как на картинке.

Подсказка

Метрика — это просто функция от пары точек, никакой связи с прямыми, углами или сложением векторов у неё нет. Возьмите обычную евклидову метрику и «перетащите» её на плоскость какой-нибудь биекцией. Вспомните квиз про $|x^3 - y^3|$ .

Решение

Пусть $D_1$ и $D_2$ — обычные круги радиусов $1$ и $2$ с центром в нуле, $T$ — треугольник, $S$ — смайлик. Возьмём биекцию $\varphi\colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ , которая переводит $0$ в $0$ , круг $D_1$ в $T$ , кольцо $D_2 \setminus D_1$ в $S \setminus T$ , а всё остальное в $\mathbb{R}^2 \setminus S$ . Такая биекция есть: каждое из этих множеств (без нуля) содержит континуум точек, а между множествами одной мощности всегда есть биекция.

Положим

\rho(p, q) = \bigl|\varphi^{-1}(p) - \varphi^{-1}(q)\bigr| .

Это метрика: мы просто считаем обычное расстояние между прообразами точек, а $\varphi$ взаимно однозначна, так что все три аксиомы переносятся, как с $|x^3 - y^3|$ . Шар этой метрики — образ обычного шара:

B_\rho(0, r) = \varphi\bigl(D_r\bigr),

поэтому $B_\rho(0, 1) = T$ , а $B_\rho(0, 2) = S$ .

Биекция $\varphi$ здесь может быть сколь угодно разрывной: метрике всё равно. Единственное, чего нельзя добиться, — чтобы шар меньшего радиуса не помещался в шар большего: если $\rho(0, x) < 1$ , то тем более $\rho(0, x) < 2$ . Поэтому треугольник и лежит внутри смайлика.

Шары открыты, точки разделимы

Название «открытый шар» пока ничем не оправдано. Проверим, что шар действительно открытое множество. Именно здесь и работает неравенство треугольника.

Утверждение (шар открыт).

Любой открытый шар $B(x, r)$ — открытое множество.

Схема доказательства

Если $y$ лежит в шаре на расстоянии $\rho(x, y)$ от центра, то до «края» у неё остаётся запас $r - \rho(x, y)$ . Шар такого радиуса вокруг $y$ целиком лежит внутри $B(x, r)$ .

Доказательство

Пусть $y \in B(x, r)$ , положим $s = r - \rho(x, y) > 0$ . Возьмём любую $z \in B(y, s)$ . По неравенству треугольника

\rho(x, z) \le \rho(x, y) + \rho(y, z) < \rho(x, y) + s = r,

то есть $z \in B(x, r)$ . Значит, $B(y, s) \subset B(x, r)$ .

Точки можно разделить

Утверждение (отделимость).

У любых двух различных точек $x$ и $y$ метрического пространства есть непересекающиеся окрестности.

Доказательство

Пусть $r = \rho(x, y) > 0$ . Возьмём шары $B(x, r/2)$ и $B(y, r/2)$ . Если бы точка $z$ лежала в обоих, то $\rho(x, y) \le \rho(x, z) + \rho(z, y) < r/2 + r/2 = r$ , противоречие.

Кажется, что это очевидно и верно всегда. Но уже в уроке про определение топологии (1.5) появятся пространства, где две разные точки нельзя разделить окрестностями, и там начнутся настоящие чудеса.

Интуиция, которой нельзя верить

Картинки в $\mathbb{R}^n$ подсказывают нам много «очевидных» вещей, которые в метрических пространствах неверны.

В любой окрестности точки есть другие точки. В $\mathbb{Z}$ с обычным расстоянием шар $B(0, 1/2)$ состоит из одного нуля. Значит, множество $\{0\}$ открыто, и это окрестность нуля, в которой больше ничего нет.

Шар большего радиуса больше. В $\mathbb{Z}$ шары $B(0, 1/2)$ и $B(0, 1)$ совпадают: оба равны $\{0\}$ .

В дискретной метрике всё ещё радикальнее.

Задача. Пусть на $\mathbb{R}$ дискретная метрика. Какие утверждения верны?

$B(0, 1) = B(0, 1/2) = \{0\}$
$B(0, 2) = \mathbb{R}$
Отрезок $[0, 1]$ открыт
Множество $\{0\}$ не открыто

Разбор

Все расстояния равны $0$ или $1$ . Поэтому шар радиуса $r \le 1$ — это одна точка, а шар радиуса $r > 1$ — всё пространство. Раз каждая точка сама по себе открытый шар, открыто вообще любое множество: оно содержит шар $\{x\}$ вокруг каждой своей точки.

Сходимость и непрерывность

Определения из прошлых уроков переносятся дословно: модуль разности меняется на $\rho$ .

Определение (сходимость).

Последовательность $(x_n)$ в $(X, \rho)$ сходится к $a$ , если $\forall \varepsilon > 0 \;\; \exists N \;\; \forall n > N: \; \rho(x_n, a) < \varepsilon$ . То же самое через окрестности: в любой окрестности $a$ лежат все члены, начиная с некоторого.

Определение (непрерывность).

Отображение $f\colon (X, \rho_X) \to (Y, \rho_Y)$ непрерывно в точке $x_0$ , если $\forall \varepsilon > 0 \;\; \exists \delta > 0: \; \rho_X(x, x_0) < \delta \Rightarrow \rho_Y(f(x), f(x_0)) < \varepsilon$ .

И главное: теорема из первого урока остаётся верной. Отображение непрерывно во всех точках тогда и только тогда, когда прообраз любого открытого множества открыт. Доказательство то же самое, слово в слово, только вместо интервалов шары. Это и есть награда за то, что мы переписали всё на языке открытых множеств.

А вот привычные свойства могут и не выполняться. Снова посмотрим на дискретную метрику.

Задача. Пусть на $\mathbb{R}$ дискретная метрика. Какие последовательности сходятся?

$x_n = 1/n$
$x_n = 7$
$x_n = n$ при $n \le 100$ и $x_n = 0$ при $n > 100$
$x_n = (-1)^n$

Разбор

Шар $B(a, 1/2) = \{a\}$ — окрестность точки $a$ . Значит, если $x_n \to a$ , то с какого-то места все $x_n$ равны $a$ . Сходятся ровно те последовательности, которые с какого-то места постоянны. В частности, $1/n$ больше не стремится к нулю.

Отсюда ещё два сюрприза:

Любое отображение из дискретного пространства непрерывно. Прообраз чего угодно — это какое-то множество, а в дискретной метрике открыты все множества.
Ограниченная последовательность может не иметь сходящейся подпоследовательности. Последовательность $x_n = n$ ограничена (все расстояния не больше $1$ ), но любая её подпоследовательность состоит из разных точек и потому не сходится. Теорема Больцано–Вейерштрасса здесь не работает.

Зато тождественное отображение $x \mapsto x$ из обычной прямой в прямую с дискретной метрикой не непрерывно, хотя «ничего не делает». Причина в том, что прообраз открытого $\{0\}$ — это точка $\{0\}$ , а на обычной прямой она не открыта.

А какие функции, наоборот, непрерывно отображают обычную прямую в дискретную?

Задача. На прямой-аргументе обычная метрика, на прямой-значении дискретная. Какая из функций $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ непрерывна?

$f(x) = x^2$
$f(x) = 5$
$f(x) = \operatorname{sign} x$
$f(x) = \lfloor x \rfloor$

Разбор

Точка $\{c\}$ в дискретной метрике открыта, значит, её прообраз $f^{-1}(c)$ должен быть открыт на обычной прямой. У $x^2$ прообраз точки $1$ — это $\{-1, 1\}$ , не открыто. У $\operatorname{sign}$ прообраз нуля — точка $\{0\}$ , у $\lfloor x \rfloor$ прообраз нуля — $[0, 1)$ . Ни то, ни другое не открыто. Подходит только константа.

На самом деле других непрерывных функций здесь нет вообще: прямая «цельная», и её нельзя разбить на несколько непересекающихся открытых кусков. Это свойство называется связностью, и мы докажем его в модуле 4.

Что получилось

Расстояние задаётся тремя аксиомами: неотрицательность, симметрия и неравенство треугольника. Больше ничего от него не нужно.
Шары в метрических пространствах открыты, а разные точки разделяются шарами.
Сходимость, непрерывность и критерий через прообразы переносятся из $\mathbb{R}$ дословно.
Но шары бывают ромбами и квадратами, бывают одной точкой, а ограниченность не гарантирует сходящейся подпоследовательности.

В следующем уроке разберём зоопарк метрик подробнее.