Фактор-пространства · Введение в топологию

Возьмите полоску бумаги и склейте её концы. Получится кольцо, то есть окружность. Склейте у квадратного листа две противоположные стороны, получится цилиндр. Склейка — самый наглядный способ строить пространства: лента Мёбиуса, тор и бутылка Клейна в следующем уроке тоже получатся склейками квадрата.

Но что такое склейка с точки зрения топологии? С множеством всё понятно: склеенные точки становятся одной точкой. А вот какие множества в результате открыты? Посмотрите, что происходит с окрестностью точки склейки, когда отрезок сгибается в окружность.

На окружности маленькая дуга вокруг точки склейки — обычная окрестность. А на отрезке она состоит из двух кусков, $[0, \varepsilon)$ и $(1 - \varepsilon, 1]$ , у разных концов. Каждый кусок сам по себе окрестностью точки склейки не будет: он подходит к ней только с одной стороны. Правило отсюда такое: множество в склеенном пространстве открыто, если открыт его прообраз, то есть то, что мы видим до склейки.

С окружностью мы уже встречались. В уроке про гомеоморфизм (2.4) стереографическая проекция показала, что окружность без одной точки гомеоморфна прямой, а значит, и интервалу $(0, 1)$ . Так что интуитивно окружность — это интервал и ещё одна точка. Но как эта точка прикрепляется к интервалу, какие у неё окрестности, сказать тогда было нельзя. Склейка отвечает ровно на этот вопрос: у отрезка со склеенными концами есть интервал $(0, 1)$ и одна новая точка, класс $\{0, 1\}$ , а её окрестности подходят к интервалу с обеих сторон.

Фактор-топология

Склеивать точки удобно на языке отношений эквивалентности. Пусть на множестве $X$ задано отношение эквивалентности $\sim$ : точки $x \sim x'$ мы хотим объявить одной точкой. Классом точки $x$ называется множество $[x]$ всех эквивалентных ей точек. Классы не пересекаются и покрывают $X$ .

Фактор-множество $X/{\sim}$ — множество всех классов.
Проекция $\pi\colon X \to X/{\sim}$ переводит точку в её класс: $\pi(x) = [x]$ .

Например, на отрезке $[0, 1]$ объявим $0 \sim 1$ , а остальные точки эквивалентны только самим себе. Классы — это $\{0, 1\}$ и одноточия $\{t\}$ при $0 < t < 1$ .

Определение (фактор-топология).

Пусть $X$ — топологическое пространство и $\sim$ — отношение эквивалентности на нём. Множество $U \subset X/{\sim}$ открыто в фактор-топологии, если его прообраз $\pi^{-1}(U)$ открыт в $X$ . Множество $X/{\sim}$ с этой топологией называется фактор-пространством.

Это действительно топология: прообраз сохраняет объединения и пересечения,

\pi^{-1}\Big(\bigcup U_\alpha\Big) = \bigcup \pi^{-1}(U_\alpha), \qquad \pi^{-1}(U \cap V) = \pi^{-1}(U) \cap \pi^{-1}(V),

а прообразы $\varnothing$ и $X/{\sim}$ — это $\varnothing$ и $X$ . Проекция $\pi$ по определению непрерывна. Более того, это самая сильная топология на $X/{\sim}$ , при которой $\pi$ непрерывна: если открыть ещё хоть одно множество, его прообраз будет неоткрытым.

Удобно смотреть на открытые множества фактора прямо в $X$ . Множество $A \subset X$ называется насыщенным, если вместе с каждой точкой оно содержит весь её класс. Прообразы $\pi^{-1}(U)$ — это ровно насыщенные множества, и разные $U$ дают разные прообразы. Поэтому

открытые множества $X/{\sim}$ — это открытые насыщенные множества $X$ .

Для отрезка со склеенными концами насыщенное множество, содержащее $0$ , обязано содержать и $1$ . Если оно ещё и открыто, то содержит $[0, \varepsilon)$ и $(1 - \varepsilon, 1]$ для некоторого $\varepsilon > 0$ . Это ровно та двойная окрестность из интерактива.

Задача. Пусть на $[0, 1]$ склеены концы: $0 \sim 1$ . Прообразы каких открытых множеств фактора перечислены?

$(0{,}2;\ 0{,}5)$
$[0;\ 0{,}1)$
$[0;\ 0{,}1) \cup (0{,}9;\ 1]$
$(0{,}9;\ 1]$
$[0;\ 0{,}1) \cup (0{,}4;\ 0{,}6) \cup (0{,}95;\ 1]$

Разбор

Нужно, чтобы множество было открыто в $[0, 1]$ и насыщено. Интервал $(0{,}2;\ 0{,}5)$ не содержит концов, ему нечего досыщать. Множества $[0;\ 0{,}1)$ и $(0{,}9;\ 1]$ открыты в отрезке, но не насыщены: содержат один конец без другого. Объединения с обоими концами насыщены, и размер кусков у концов может быть разным.

Стягивание в точку

Частый случай склейки — объявить все точки подмножества $A \subset X$ одной точкой, а остальные не трогать. Получившийся фактор обозначают $X/A$ и говорят, что $A$ стянуто в точку.

$[0, 1]/\{0, 1\}$ — те же склеенные концы.
$[0, 1]/\{0, 1/2, 1\}$ — три точки отрезка склеены в одну. Получается восьмёрка: две петли, выходящие из одной точки.
Замкнутый круг, у которого граница стянута в точку, $D^2/S^1$ . Что это за пространство, выясним в следующем уроке.
$\mathbb{R}/[0, 1]$ — отрезок стягивается в точку, и прямая остаётся прямой. Это проверим в задаче в конце урока.

Склеивать можно и по-другому, без выделенного подмножества. Склейка квадрата $[0, 1] \times [0, 1]$ по правилу $(0, y) \sim (1, y)$ соединяет левую сторону с правой, точку с точкой на той же высоте. На картинках такую склейку рисуют стрелками: стороны со стрелками склеиваются так, чтобы стрелки совпали.

Замечание (Склейка — не сгибание).

Сгибание на картинках — только способ увидеть результат. Само фактор-пространство ничего не сгибает и ни в какое $\mathbb{R}^3$ не помещается: мы объявляем некоторые точки одной точкой и задаём топологию через прообразы, вот и всё. Длины, углы и форма тут не важны: склейка отрезка — это не «кольцо радиуса $1/(2\pi)$ », а просто топологическое пространство. Что этот фактор действительно гомеоморфен окружности или цилиндру в $\mathbb{R}^3$ , ещё нужно доказать, это мы сделаем ниже. И так бывает не всегда: бутылку Клейна из следующего урока в $\mathbb{R}^3$ без самопересечений не нарисовать, хотя склейкой квадрата она получается так же легко, как цилиндр.

Непрерывность на факторе

Функция на склеенном пространстве — это то же самое, что функция на исходном, которая на склеенных точках принимает одинаковые значения. Например, функция на окружности — это функция на отрезке с $f(0) = f(1)$ . Непрерывность тоже переносится.

Теорема (отображения из фактора).

Отображение $g\colon X/{\sim} \to Y$ непрерывно тогда и только тогда, когда непрерывна композиция $g \circ \pi\colon X \to Y$ .

Доказательство

Если $g$ непрерывно, то $g \circ \pi$ непрерывна как композиция непрерывных. Обратно, пусть $V \subset Y$ открыто. Прообраз $g^{-1}(V)$ открыт в факторе ровно тогда, когда открыт $\pi^{-1}(g^{-1}(V)) = (g \circ \pi)^{-1}(V)$ . А он открыт, потому что $g \circ \pi$ непрерывна.

Обычно теорему применяют так. Пусть $f\colon X \to Y$ непрерывно и постоянно на каждом классе, то есть $x \sim x'$ влечёт $f(x) = f(x')$ . Тогда формула $\bar{f}([x]) = f(x)$ корректно задаёт отображение $\bar{f}\colon X/{\sim} \to Y$ , и оно непрерывно, ведь $\bar{f} \circ \pi = f$ . Говорят, что $f$ пропускается через фактор.

Как узнать склейку

Мы хотим доказать, что отрезок со склеенными концами — это окружность. Отображение $f(t) = (\cos 2\pi t, \sin 2\pi t)$ из $[0, 1]$ на окружность непрерывно, сюръективно и склеивает ровно концы: $f(t) = f(t')$ только при $t = t'$ или $\{t, t'\} = \{0, 1\}$ . Значит, $\bar{f}$ — непрерывная биекция $[0, 1]/{\sim}$ на окружность. Остаётся непрерывность обратного, и тут снова помогает компактность.

Теорема (распознавание склейки).

Пусть $X$ компактно, $Y$ хаусдорфово, а $f\colon X \to Y$ — непрерывная сюръекция, которая склеивает ровно эквивалентные точки: $f(x) = f(x')$ тогда и только тогда, когда $x \sim x'$ . Тогда $\bar{f}\colon X/{\sim} \to Y$ — гомеоморфизм.

Доказательство

По теореме о непрерывности на факторе $\bar{f}$ непрерывно. Оно сюръективно, потому что $f$ сюръективно, и инъективно, потому что разные классы переходят в разные точки. Фактор $X/{\sim} = \pi(X)$ компактен как непрерывный образ компакта. Итак, $\bar{f}$ — непрерывная биекция компакта на хаусдорфово пространство, а такая биекция — гомеоморфизм (урок «Какие пространства компактны», 3.3).

Теперь примеры собираются в одну строчку каждый.

$[0, 1]/(0 \sim 1) \cong S^1$ через $t \mapsto (\cos 2\pi t, \sin 2\pi t)$ . Именно этой склейки не хватало в уроке «Какие пространства компактны» (3.3), когда отображение $t \mapsto (\cos t, \sin t)$ с отрезка $[0, 2\pi]$ переставало быть инъективным. Заодно стало точным и интуитивное «окружность — это интервал плюс точка» из урока про гомеоморфизм (2.4).
Квадрат со склейкой $(0, y) \sim (1, y)$ гомеоморфен цилиндру $S^1 \times [0, 1]$ через $(x, y) \mapsto ((\cos 2\pi x, \sin 2\pi x), y)$ .
$[0, 1]/\{0, 1/2, 1\}$ гомеоморфна восьмёрке, составленной из двух окружностей, касающихся в одной точке. Отображение пробегает первую окружность на $[0, 1/2]$ и вторую на $[1/2, 1]$ .

Задача. Какие пространства гомеоморфны окружности?

$[0, 2\pi]/(0 \sim 2\pi)$
$[0, 1]/\{0, 1/2, 1\}$
Граница квадрата $[0, 1]^2$
$[0, 1]/[0, 1/2]$
$[0, 1]/\{0, 1/3, 2/3, 1\}$

Разбор

Первое — то же, что $[0, 1]/(0 \sim 1)$ , отрезок другой длины. Граница квадрата — образ окружности при непрерывной биекции «по лучам из центра», а это гомеоморфизм по теореме о компакте и хаусдорфовом.

Восьмёрка не гомеоморфна окружности. Это интуитивно ясно, а строго это доказывается через связность: если выкинуть точку склейки, восьмёрка распадётся на два куска, а окружность без любой точки остаётся одним куском. В $[0, 1]/[0, 1/2]$ кусок стягивается в точку, и остаётся отрезок.

В последнем варианте четыре точки склеены в одну. Каждый из трёх кусков $[0, 1/3]$ , $[1/3, 2/3]$ и $[2/3, 1]$ становится петлёй через эту точку, и получается букет из трёх окружностей.

Склейка может всё испортить

Фактор хаусдорфова пространства не обязан быть хаусдорфовым. Вот два способа это сломать.

Прямая с двумя нулями. Возьмём две копии прямой, $\mathbb{R} \times \{0\}$ и $\mathbb{R} \times \{1\}$ , и склеим их по всем точкам, кроме нуля: $(x, 0) \sim (x, 1)$ при $x \ne 0$ . Получается прямая, у которой два нуля, $0'$ и $0''$ . Вокруг каждой точки пространство выглядит как обычная прямая. Но нули нельзя разделить: окрестность $0'$ содержит точки $(-\varepsilon, 0) \cup (0, \varepsilon)$ , и окрестность $0''$ тоже, а эти точки общие.

Склейка по рациональным сдвигам. Объявим $x \sim y$ , если $x - y \in \mathbb{Q}$ . Пусть $U$ — непустое открытое множество фактора. Его прообраз открыт, насыщен и содержит какой-то интервал $I$ . Насыщенность значит, что вместе с $I$ прообраз содержит все сдвиги $I + q$ на рациональные числа, а они покрывают всю прямую. Значит, прообраз — вся прямая, и $U$ — весь фактор. Получилось антидискретное пространство с континуумом точек.

Из этих примеров видно, почему так полезна теорема о распознавании. Она не только говорит, что фактор гомеоморфен чему-то знакомому, но и гарантирует, что ничего подобного не случилось: $Y$ хаусдорфово по условию.

Задача. Какие фактор-пространства хаусдорфовы?

$[0, 1]/(0 \sim 1)$
Прямая с двумя нулями
$\mathbb{R}/{\sim}$ , где $x \sim y$ при $x - y \in \mathbb{Q}$
$\mathbb{R}/[0, 1]$
$[0, 1]/(0, 1)$ , где стянут открытый интервал

Разбор

Первое гомеоморфно окружности. $\mathbb{R}/[0, 1]$ гомеоморфно прямой: отображение, которое сжимает $[0, 1]$ в точку $0$ и сдвигает остальное ( $x \mapsto x$ при $x < 0$ , $x \mapsto x - 1$ при $x > 1$ ), пропускается через фактор. Обратное отображение переводит $y \le 0$ в $[y]$ , а $y \ge 0$ в $[y + 1]$ . В нуле обе формулы дают класс $[0, 1]$ , и по лемме о склейке из урока про непрерывность и подпространства (2.3) обратное непрерывно.

Прямую с двумя нулями и рациональные сдвиги мы разобрали. В $[0, 1]/(0, 1)$ всего три точки: $0$ , $1$ и класс $c = (0, 1)$ . Любое открытое множество, содержащее $0$ , содержит $[0, \varepsilon)$ , а значит, задевает интервал и содержит точку $c$ . Поэтому $0$ и $c$ нельзя разделить.

Когда стягивание безопасно

В последней задаче фактор $[0, 1]/(0, 1)$ испортился, потому что стянутое множество не замкнуто: точку $0$ нельзя отделить от интервала $(0, 1)$ , он подходит к ней вплотную. Если же множество $A$ замкнуто, а пространство хорошо отделяет точки от замкнутых множеств, стягивание ничего не ломает. Тут и пригодятся аксиомы отделимости из прошлого урока.

Сначала посмотрим, какие множества открыты в $X/A$ . Насыщенное множество либо целиком содержит $A$ , либо вовсе его не задевает. Значит, открытые множества $X/A$ — это открытые множества $X$ , которые содержат $A$ или не пересекаются с ним.

Теорема (стягивание замкнутого множества).

Пусть $X$ регулярно, а $A \subset X$ замкнуто и непусто. Тогда $X/A$ хаусдорфово. В частности, это верно для нормальных $X$ : метрических и компактных хаусдорфовых.

Схема доказательства

В $X/A$ точки бывают двух видов: обычные точки $x \notin A$ и одна новая точка $[A]$ . Отделить обычную точку от новой — это отделить $x$ от замкнутого $A$ в самом $X$ , ровно то, что даёт регулярность. Получившиеся окрестности насыщены: одна содержит $A$ целиком, другая его не задевает. Две обычные точки разделяет хаусдорфовость, только окрестности надо ещё отодвинуть от $A$ .

Доказательство

Точка $x \notin A$ и точка $[A]$ . По регулярности есть непересекающиеся открытые $U \ni x$ и $V \supset A$ . Оба множества насыщены: $V$ содержит $A$ , а $U$ его не задевает, раз $U \cap V = \varnothing$ . Значит, $\pi(U)$ и $\pi(V)$ открыты в $X/A$ , не пересекаются и содержат $x$ и $[A]$ .

Две точки $x, y \notin A$ . Регулярное пространство хаусдорфово, возьмём непересекающиеся открытые $U \ni x$ и $V \ni y$ . Множество $X \setminus A$ открыто, потому что $A$ замкнуто. Тогда $U \setminus A$ и $V \setminus A$ открыты, не задевают $A$ , а значит, насыщены, и не пересекаются. Их образы разделяют $x$ и $y$ в $X/A$ .

Например, $\mathbb{R}/[0, 1]$ хаусдорфово сразу, без вычислений из разбора задачи. А в следующем уроке так же получится, что круг со стянутой в точку границей, $D^2/S^1$ , хаусдорфов, и теорема о распознавании склейки сработает. Если $X$ нормально, то и $X/A$ нормально, это доказывается так же, но мы на этом не останавливаемся.

Что получилось

Фактор-пространство $X/{\sim}$ — множество классов эквивалентности. Множество в нём открыто, если открыт прообраз. Открытые множества фактора — это открытые насыщенные множества $X$ .
Стягивание $X/A$ склеивает всё $A$ в одну точку.
Непрерывность на факторе проверяется на $X$ : $g$ непрерывно, когда непрерывна $g \circ \pi$ . Отображение, постоянное на классах, пропускается через фактор.
Распознавание склейки: если $X$ компактно, $Y$ хаусдорфово, а непрерывная сюръекция $f\colon X \to Y$ склеивает ровно эквивалентные точки, то $X/{\sim} \cong Y$ . Так $[0, 1]/(0 \sim 1) \cong S^1$ , а квадрат со склеенными сторонами — цилиндр.
Склейка может испортить хаусдорфовость: прямая с двумя нулями, рациональные сдвиги.
Стягивание замкнутого множества в регулярном (в частности, нормальном) пространстве даёт хаусдорфово пространство.

В следующем уроке склеим квадрат всеми возможными способами и получим тор, ленту Мёбиуса и бутылку Клейна. А начнём со сферы, которая получается из плоскости добавлением одной точки.