Когда последовательностей не хватает · Введение в топологию

В анализе последовательности — главный рабочий инструмент. Замкнутость проверяют пределами последовательностей, непрерывность — по Гейне, а предел функции в точке — через пределы последовательностей $f(x_n)$ . В уроках про сходимость и непрерывность по Гейне (1.2) и про замыкание и внутренность (2.2) мы видели, что в метрических пространствах всё это работает.

Но мы уже дважды заметили, где именно в доказательствах использовалась метрика: брались шары $B(x, 1/n)$ , то есть счётный набор окрестностей, которые сжимаются к точке. В общем топологическом пространстве такого набора может не быть. В этом уроке мы посмотрим, что тогда ломается, и выделим условия, при которых последовательностей снова хватает. Заодно появятся два свойства, которые постоянно встречаются в анализе: сепарабельность и счётная база. А в конце они позволят доказать, что топологию прямой Зоргенфрея нельзя задать никакой метрикой.

Что последовательности умеют всегда

Определение сходимости в топологическом пространстве из урока про определение топологии (1.5): $x_n \to a$ , если в любой окрестности $a$ лежат все члены последовательности, начиная с некоторого.

Половина привычных утверждений верна в любом пространстве.

Утверждение (последовательности в одну сторону).

Пусть $X$ — топологическое пространство и $A \subset X$ .

Если $a_n \in A$ и $a_n \to x$ , то $x \in \overline{A}$ .
Если $f\colon X \to Y$ непрерывно и $x_n \to a$ , то $f(x_n) \to f(a)$ .

Доказательство

1. Любая окрестность $x$ содержит члены последовательности, а это точки $A$ . Значит, любая окрестность $x$ задевает $A$ .

2. Пусть $V$ — окрестность $f(a)$ . Тогда $f^{-1}(V)$ — окрестность $a$ , в ней лежат все $x_n$ начиная с некоторого номера, и значит, все $f(x_n)$ с этого номера лежат в $V$ .

Отображение, для которого выполнено второе условие, называют непрерывным по Гейне, или секвенциально непрерывным. А точки, к которым сходятся последовательности из $A$ , — секвенциальным замыканием. Вопрос урока: когда верны обратные утверждения?

Где последовательности врут

Вот пространство, в котором последовательности почти ничего не видят.

Определение (топология счётных дополнений).

На $\mathbb{R}$ открытыми объявим пустое множество и все множества, дополнение которых не более чем счётно.

Аксиомы проверяются так же, как для конечно-дополнительной топологии из урока про определение топологии (1.5): объединение открытых множеств имеет дополнением пересечение счётных, а пересечение двух открытых — объединение двух счётных. Замкнутые множества здесь — все не более чем счётные множества и сама прямая.

Утверждение (сходятся только почти постоянные).

В топологии счётных дополнений $x_n \to a$ тогда и только тогда, когда $x_n = a$ для всех $n$ , начиная с некоторого.

Доказательство

Если с какого-то места $x_n = a$ , то последовательность сходится к $a$ в любой топологии. Обратно, пусть $x_n \to a$ . Выколем из прямой все члены последовательности, отличные от $a$ :

U = \mathbb{R} \setminus \{x_n : x_n \ne a\}.

Выколото счётное множество, поэтому $U$ открыто, и $a \in U$ . Значит, с какого-то номера все $x_n$ лежат в $U$ , а там из членов последовательности осталась только сама $a$ .

Теперь последствия.

Замыкание не описывается последовательностями. Интервал $(0, 1)$ несчётен, поэтому единственное замкнутое множество, которое его содержит, — вся прямая, и $\overline{(0, 1)} = \mathbb{R}$ . В частности, $2 \in \overline{(0, 1)}$ . Но последовательность из $(0, 1)$ , сходящаяся к $2$ , должна была бы с какого-то места состоять из двоек.
Непрерывность по Гейне слабее непрерывности. Тождественное отображение из прямой со счётными дополнениями в дискретную прямую переводит сходящиеся последовательности в сходящиеся: они почти постоянны. Но оно не непрерывно: точка $\{0\}$ открыта в дискретной прямой, но не в топологии счётных дополнений.

На картинке видно, в чём разница. В метрическом пространстве к точке $x$ ведёт счётная лестница шаров, и в каждом шаре можно взять по точке. В топологии счётных дополнений такой лестницы нет: любую последовательность можно выколоть, и останется окрестность, которая её не видит.

Задача. На $\mathbb{R}$ топология счётных дополнений. Какие утверждения верны?

$1/n \to 0$
последовательность $1/n$ не сходится ни к какой точке
$\mathbb{N}$ замкнуто
$(0, 1)$ замкнуто
$\overline{\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}} = \mathbb{R}$

Разбор

Последовательность $1/n$ не почти постоянна, поэтому не сходится никуда, в том числе к $0$ . $\mathbb{N}$ счётно, значит, замкнуто. Интервал $(0, 1)$ несчётен и не совпадает с прямой, так что он не замкнут. Иррациональные числа несчётны, их замыкание — вся прямая.

Первая аксиома счётности

Что именно было у метрических пространств и чего не хватает здесь? Счётного набора окрестностей, которые «контролируют» все остальные.

Определение (база в точке, первая аксиома счётности).

Набор окрестностей $\mathcal{B}_x$ точки $x$ называется базой окрестностей в $x$ , если любая окрестность $x$ содержит какой-нибудь элемент $\mathcal{B}_x$ .

Пространство удовлетворяет первой аксиоме счётности, если у каждой точки есть счётная база окрестностей.

Примеры:

в метрическом пространстве база в $x$ — шары $B(x, 1/n)$ ;
на прямой Зоргенфрея — полуинтервалы $[x, x + 1/n)$ ;
в дискретном пространстве — одна окрестность $\{x\}$ ;
в антидискретном — одна окрестность, всё пространство.

Счётную базу $U_1, U_2, \ldots$ всегда можно сделать вложенной: $V_n = U_1 \cap \ldots \cap U_n$ тоже окрестности, и тоже база. Это и есть «лестница», сжимающаяся к точке.

Теорема (последовательностей хватает).

Пусть $X$ удовлетворяет первой аксиоме счётности. Тогда

$x \in \overline{A}$ тогда и только тогда, когда есть последовательность $a_n \in A$ , $a_n \to x$ ;
отображение $f\colon X \to Y$ в любое топологическое пространство $Y$ непрерывно тогда и только тогда, когда оно непрерывно по Гейне.

Доказательство

1. Одна сторона верна всегда. Пусть $x \in \overline{A}$ , и $V_1 \supset V_2 \supset \ldots$ — вложенная база в $x$ . Каждое $V_n$ задевает $A$ , возьмём $a_n \in V_n \cap A$ . Если $U$ — окрестность $x$ , то $U \supset V_N$ для некоторого $N$ , а значит, $a_n \in V_n \subset V_N \subset U$ при всех $n \ge N$ . Это и есть $a_n \to x$ .

2. Одна сторона верна всегда. Пусть $f$ непрерывно по Гейне. По теореме из урока про непрерывность и подпространства (2.3) достаточно проверить, что $f(\overline{A}) \subset \overline{f(A)}$ . Пусть $x \in \overline{A}$ . По пункту 1 есть $a_n \in A$ , $a_n \to x$ . Тогда $f(a_n) \to f(x)$ , а $f(a_n) \in f(A)$ , поэтому $f(x) \in \overline{f(A)}$ .

Для метрических пространств это ровно то, что мы доказывали в уроках про сходимость и непрерывность по Гейне (1.2) и про замыкание и внутренность (2.2). Важно, что условие нужно на $X$ , а не на $Y$ : пример с тождественным отображением в дискретную прямую показывает, что метрика в $Y$ не спасает.

А топология счётных дополнений первой аксиоме не удовлетворяет. Пусть $U_1, U_2, \ldots$ — окрестности точки $x$ , и $U_n = \mathbb{R} \setminus C_n$ со счётными $C_n$ . Объединение всех $C_n$ счётно, поэтому найдётся точка $y \ne x$ , не лежащая ни в одном $C_n$ . Тогда $\mathbb{R} \setminus \{y\}$ — окрестность $x$ , но ни одно $U_n$ в ней не лежит: все они содержат $y$ .

Задача. Какие пространства удовлетворяют первой аксиоме счётности?

любое метрическое пространство
прямая Зоргенфрея
несчётное дискретное пространство
$\mathbb{R}$ с топологией счётных дополнений
$\mathbb{R}$ с конечно-дополнительной топологией

Разбор

Метрические пространства и прямую Зоргенфрея мы разобрали. В дискретном пространстве у каждой точки база из одной окрестности $\{x\}$ , сколько бы точек ни было. Для конечно-дополнительной топологии работает то же рассуждение, что и для счётных дополнений: объединение счётного числа конечных множеств счётно, и найдётся точка $y$ , которую не выкинула ни одна из окрестностей $U_n$ .

Вторая аксиома счётности

Первая аксиома говорит про каждую точку по отдельности. Можно потребовать большего: чтобы вся топология управлялась счётным набором множеств.

Определение (вторая аксиома счётности).

Пространство удовлетворяет второй аксиоме счётности, если у его топологии есть счётная база.

База (урок «База топологии», 2.1) — это набор открытых множеств, из объединений которых получаются все открытые. Если база $\mathcal{B}$ счётна, то элементы $\mathcal{B}$ , содержащие точку $x$ , образуют счётную базу в $x$ . Поэтому из второй аксиомы следует первая.

Утверждение (у

\mathbb{R}^n

счётная база).

Шары с рациональными центрами и рациональными радиусами образуют базу топологии $\mathbb{R}^n$ . Их счётно много.

Доказательство

Пусть $U$ открыто и $x \in U$ . Есть шар $B(x, r) \subset U$ . Возьмём рациональное $\rho$ с $0 < \rho < r/2$ и точку $c$ с рациональными координатами, для которой $|c - x| < \rho$ . Тогда $x \in B(c, \rho)$ , и для $y \in B(c, \rho)$

|y - x| \le |y - c| + |c - x| < 2\rho < r,

то есть $B(c, \rho) \subset B(x, r) \subset U$ . По критерию базы из урока про базу топологии (2.1) это база. Пар «рациональная точка, рациональный радиус» счётно много.

Каждое открытое множество плоскости — объединение таких «рациональных» шаров. Их можно занумеровать, и получается удивительный факт: открытых множеств на плоскости ровно континуум, хотя на первый взгляд их гораздо больше. Каждое задаётся тем, какие из счётного числа кирпичиков в него входят.

Вторая аксиома наследуется подпространствами: если $\mathcal{B}$ — счётная база $X$ , то следы $\{B \cap A\}$ — счётная база $A$ . Так что все подмножества $\mathbb{R}^n$ тоже имеют счётную базу.

Сепарабельность

Третье свойство из того же ряда — существование счётного множества, которое подходит сколь угодно близко ко всему.

Определение (сепарабельность).

Пространство $X$ сепарабельно, если в нём есть счётное плотное подмножество, то есть счётное $D$ с $\overline{D} = X$ .

$\mathbb{R}^n$ сепарабельно: $\mathbb{Q}^n$ плотно.
Прямая Зоргенфрея сепарабельна: в каждом полуинтервале $[a, b)$ есть рациональные числа, так что $\mathbb{Q}$ плотно и в ней.
Несчётное дискретное пространство не сепарабельно: в нём каждое множество замкнуто, и плотно только всё пространство.

Самый интересный пример — пространство функций. Пусть $C[0, 1]$ — непрерывные функции на отрезке с метрикой $\rho(f, g) = \max |f(x) - g(x)|$ из урока «Зоопарк метрик» (1.4).

Утверждение (

C[0, 1]

сепарабельно).

Многочлены с рациональными коэффициентами плотны в $C[0, 1]$ .

Доказательство

Пусть $f \in C[0, 1]$ и $\varepsilon > 0$ . По теореме Вейерштрасса из урока про замыкание и внутренность (2.2) есть многочлен $P(x) = a_0 + a_1 x + \ldots + a_n x^n$ с $\rho(f, P) < \varepsilon / 2$ . Заменим каждый $a_k$ рациональным $q_k$ с $|a_k - q_k| < \frac{\varepsilon}{2(n + 1)}$ . На отрезке $[0, 1]$ все $|x^k| \le 1$ , поэтому многочлен $Q$ с коэффициентами $q_k$ отличается от $P$ меньше чем на $(n + 1) \cdot \frac{\varepsilon}{2(n + 1)} = \frac{\varepsilon}{2}$ . Итого $\rho(f, Q) < \varepsilon$ .

Многочленов с рациональными коэффициентами счётно много: это конечные наборы рациональных чисел.

Многочлены можно даже предъявить явно. Многочлен Бернштейна степени $n$ строится по значениям функции в точках $k/n$ :

B_n f(x) = \sum_{k=0}^{n} f\!\left(\frac{k}{n}\right) \binom{n}{k} x^k (1 - x)^{n - k}.

Он равномерно сходится к $f$ при $n \to \infty$ , это одно из доказательств теоремы Вейерштрасса. Если значения $f(k/n)$ округлить до рациональных, сходимость почти не пострадает.

А вот пространство ограниченных последовательностей $\ell^\infty$ с метрикой $\rho(x, y) = \sup_k |x_k - y_k|$ не сепарабельно. Возьмём все последовательности из нулей и единиц. Их континуум, и любые две отличаются хотя бы в одной позиции, то есть находятся на расстоянии ровно $1$ . Шары радиуса $\frac12$ вокруг них не пересекаются, и в каждый должна попасть своя точка плотного множества. Значит, плотное множество несчётно.

Это первое серьёзное различие между конечномерным и бесконечномерным миром. Мы вернёмся к нему в модуле про нормы.

Задача. Какие пространства сепарабельны?

прямая Зоргенфрея
$\mathbb{R}$ с дискретной топологией
$\mathbb{R}$ с конечно-дополнительной топологией
$C[0, 1]$
$\ell^\infty$
$\mathbb{Q}$

Разбор

Зоргенфрей и $C[0, 1]$ мы разобрали. В дискретной прямой плотна только вся прямая, а она несчётна. В конечно-дополнительной топологии замкнуты только конечные множества и вся прямая, поэтому замыкание любого бесконечного множества, например $\mathbb{N}$ , — вся прямая. $\ell^\infty$ не сепарабельно, это пример выше. А $\mathbb{Q}$ само счётно и плотно в себе.

Как они связаны

Теорема (вторая аксиома и сепарабельность).

Если у $X$ есть счётная база, то $X$ сепарабельно.
Для метрических пространств верно и обратное: сепарабельное метрическое пространство имеет счётную базу.

Доказательство

1. Пусть $B_1, B_2, \ldots$ — счётная база. Выберем в каждом непустом $B_k$ по точке $d_k$ . Любое непустое открытое $U$ — объединение элементов базы, поэтому содержит какое-то непустое $B_k$ , а с ним и $d_k$ . Значит, множество $D = \{d_k\}$ задевает каждое непустое открытое множество, то есть плотно.

2. Пусть $D$ — счётное плотное множество. Рассмотрим шары $B(d, 1/m)$ , $d \in D$ , $m \in \mathbb{N}$ , их счётно много. Пусть $U$ открыто и $x \in U$ . Есть $m$ с $B(x, 2/m) \subset U$ , и есть $d \in D$ с $\rho(d, x) < 1/m$ . Тогда $x \in B(d, 1/m)$ , а по неравенству треугольника $B(d, 1/m) \subset B(x, 2/m) \subset U$ . Значит, эти шары — база.

Из второго пункта следует, что $C[0, 1]$ имеет счётную базу, а $\ell^\infty$ не имеет.

Теперь главное следствие урока. На прямой Зоргенфрея проверим, что счётной базы нет.

Утверждение (у прямой Зоргенфрея нет счётной базы).

Любая база топологии $\mathbb{R}_S$ несчётна.

Доказательство

Пусть $\mathcal{B}$ — база. Для каждой точки $x$ множество $[x, x + 1)$ открыто и содержит $x$ , поэтому есть $B_x \in \mathcal{B}$ с $x \in B_x \subset [x, x + 1)$ . Тогда $x$ — наименьшая точка $B_x$ : левее $x$ в $B_x$ ничего нет. Значит, при $x \ne y$ множества $B_x$ и $B_y$ разные, и элементов базы не меньше, чем точек прямой.

Следствие (прямая Зоргенфрея неметризуема).

Не существует метрики на $\mathbb{R}$ , открытые множества которой — ровно открытые множества прямой Зоргенфрея.

Доказательство

Прямая Зоргенфрея сепарабельна. Если бы её топология задавалась метрикой, то по теореме выше у неё была бы счётная база. Но счётной базы нет.

Это первое пространство в курсе, про которое мы доказали, что оно не метрическое, хотя выглядит вполне безобидно: хаусдорфово, сходимость устроена разумно, последовательностей хватает. Значит, топологические пространства действительно шире метрических.

Задача. Какие утверждения верны для любого топологического пространства?

из второй аксиомы счётности следует первая
из второй аксиомы счётности следует сепарабельность
из сепарабельности следует вторая аксиома счётности
из первой аксиомы счётности следует сепарабельность
непрерывное отображение непрерывно по Гейне

Разбор

Первые два утверждения мы доказали. Прямая Зоргенфрея сепарабельна, но без счётной базы. Несчётное дискретное пространство удовлетворяет первой аксиоме, но не сепарабельно. А непрерывность по Гейне следует из непрерывности всегда, обратное нуждается в первой аксиоме.

Что получилось

В любом пространстве пределы последовательностей из $A$ лежат в $\overline{A}$ , а непрерывные отображения непрерывны по Гейне. Обратное бывает неверно: в топологии счётных дополнений сходятся только почти постоянные последовательности.
Первая аксиома счётности: у каждой точки счётная база окрестностей. При ней последовательности описывают замыкание, а непрерывность совпадает с непрерывностью по Гейне. Ей удовлетворяют все метрические пространства.
Вторая аксиома счётности: у топологии счётная база. Пример — шары с рациональными центрами и радиусами в $\mathbb{R}^n$ .
Сепарабельность: есть счётное плотное множество. $\mathbb{R}^n$ и $C[0, 1]$ сепарабельны, а $\ell^\infty$ нет.
Из второй аксиомы следуют первая и сепарабельность. Для метрических пространств сепарабельность равносильна второй аксиоме, и поэтому прямая Зоргенфрея неметризуема.

Замечание (Что делать без первой аксиомы).

В пространствах без первой аксиомы последовательности заменяют направленностями: вместо номеров $n \in \mathbb{N}$ берут элементы произвольного направленного множества, например все окрестности точки, упорядоченные по включению. С направленностями замыкание и непрерывность описываются в любом топологическом пространстве. Нам они не понадобятся, но полезно знать, что выход есть.

Этим модуль 2 заканчивается: у нас есть язык общей топологии. В модуле 3 мы научимся строить новые пространства из старых, произведениями и склейками, и познакомимся с компактностью. Там же снова встретятся последовательности: компактность и секвенциальная компактность совпадают в метрических пространствах, но не совпадают в общем случае.