Топология: важны только открытые множества · Введение в топологию

Подведём итог всего модуля. В первых уроках мы переписали непрерывность и сходимость так, что в определениях остались только открытые множества:

$f$ непрерывна, если прообраз любого открытого множества открыт;
$x_n \to a$ , если в любой окрестности $a$ лежат все члены последовательности, начиная с некоторого.

В прошлом уроке мы увидели, что метрики $\rho_1$ , $\rho_2$ и $\rho_\infty$ на плоскости разные, шары у них разные, но открытые множества одни и те же. Поэтому и сходящиеся последовательности, и непрерывные функции у них одни и те же. А у парижской метрики открытые множества другие, и сходимость сразу стала другой.

Выходит, что для непрерывности и сходимости сама метрика — лишняя информация. Они зависят только от того, какие множества мы называем открытыми. Так давайте просто объявим, какие множества открыты, и выкинем метрику совсем.

Замечание (Но не всё).

Некоторые свойства всё-таки зависят от метрики, а не только от открытых множеств: ограниченность, фундаментальность последовательностей, полнота, равномерная непрерывность. Например, $\rho$ и $\frac{\rho}{1 + \rho}$ задают одни и те же открытые множества, но во второй метрике всё пространство ограничено. А $\mathbb{R}$ и интервал $(0, 1)$ гомеоморфны, хотя $\mathbb{R}$ полно, а $(0, 1)$ нет. Такие свойства мы разберём в модуле про метрические пространства, а пока нас интересует то, что метрики не требует.

Но объявить открытым что попало нельзя: тогда может всё сломаться. Нужно понять, какими свойствами открытых множеств мы на самом деле пользовались.

Аксиомы топологии

Посмотрим, какие свойства есть у открытых множеств в любом метрическом пространстве.

Утверждение (свойства открытых множеств).

В метрическом пространстве $X$ :

пустое множество и всё $X$ открыты;
объединение любого семейства открытых множеств открыто;
пересечение двух открытых множеств открыто.

Доказательство

В пустом множестве нет точек, проверять нечего. Всё $X$ содержит любой шар.
Если $x$ лежит в объединении, то $x$ лежит в каком-то $U_\alpha$ . Там есть шар вокруг $x$ , и он лежит и во всём объединении.
Если $x \in U \cap V$ , то есть шары $B(x, r_1) \subset U$ и $B(x, r_2) \subset V$ . Шар радиуса $\min(r_1, r_2)$ лежит в обоих.

Из третьего свойства по индукции следует, что открыто пересечение любого конечного числа открытых множеств. А бесконечное пересечение открытым быть не обязано: мы видели это ещё в первом уроке,

\bigcap_{n=1}^\infty \Bigl(-\frac1n,\, 1 + \frac1n\Bigr) = [0, 1].

Минимум конечного набора радиусов положителен, а у бесконечного набора он может оказаться нулём.

Эти три свойства и берём в определение.

Определение (топология).

Пусть $X$ — множество. Топология на $X$ — это семейство $\tau$ его подмножеств, такое что:

$\varnothing \in \tau$ и $X \in \tau$ ;
объединение любого семейства множеств из $\tau$ лежит в $\tau$ ;
пересечение двух множеств из $\tau$ лежит в $\tau$ .

Множества из $\tau$ называются открытыми, а пара $(X, \tau)$ — топологическим пространством.

Задача. Какие семейства подмножеств $X = \{a, b, c\}$ являются топологиями?

$\{\varnothing,\ \{a\},\ X\}$
$\{\varnothing,\ \{a\},\ \{b\},\ X\}$
$\{\varnothing,\ \{a\},\ \{b\},\ \{a, b\},\ X\}$
$\{\varnothing,\ \{a, b\},\ \{b, c\},\ X\}$
$\{\{a\},\ X\}$

Разбор

Во втором семействе нет объединения $\{a\} \cup \{b\} = \{a, b\}$ . В четвёртом нет пересечения $\{a, b\} \cap \{b, c\} = \{b\}$ . В пятом нет пустого множества. Первое и третье проходят все проверки.

Замкнутые множества

Определение (замкнутое множество).

Множество $F \subset X$ называется замкнутым, если его дополнение $X \setminus F$ открыто.

Переворачивая аксиомы дополнениями (объединение превращается в пересечение и наоборот), получаем свойства замкнутых множеств: $\varnothing$ и $X$ замкнуты, пересечение любого семейства замкнутых замкнуто, объединение двух замкнутых замкнуто. Топологию можно было бы с тем же успехом задать замкнутыми множествами с этими аксиомами: это одно и то же.

На прямой замкнуты отрезок $[0, 1]$ , точка $\{0\}$ , множество $\mathbb{Z}$ . Важно, что «замкнуто» не значит «не открыто». Множество может быть и тем и другим, как $\varnothing$ и $\mathbb{R}$ , а может не быть ни тем ни другим, как $[0, 1)$ .

Задача. Какие подмножества прямой с обычной топологией одновременно открыты и замкнуты?

Разбор

Отрезок замкнут, но не открыт, интервал открыт, но не замкнут. $\mathbb{Q}$ ни то, ни другое: в любом интервале есть и рациональные, и иррациональные числа. На самом деле кроме $\varnothing$ и $\mathbb{R}$ таких множеств на прямой нет вообще. Это связность прямой, мы докажем её в модуле 4.

Примеры топологий

Топология из метрики. В любом метрическом пространстве открытые множества образуют топологию, это мы доказали выше. Её называют метрической.

Дискретная топология. Открыто вообще всё: $\tau$ — все подмножества $X$ . Это то, что даёт дискретная метрика.

Антидискретная топология. Открыты только $\varnothing$ и $X$ . Самая бедная топология.

Связное двоеточие. $X = \{a, b\}$ и $\tau = \{\varnothing, \{a\}, X\}$ . Точка $a$ открыта, а единственная окрестность точки $b$ — всё $X$ .

Топология конечных дополнений. На бесконечном множестве $X$ открыты пустое множество и множества с конечным дополнением. Например, на $\mathbb{R}$ открыто $\mathbb{R} \setminus \{1, 2, 3\}$ , а интервал $(0, 1)$ уже не открыт.

Задача.

Проверьте, что топология конечных дополнений удовлетворяет аксиомам.

Решение

$\varnothing$ открыто по определению, у $X$ дополнение пустое, то есть конечное. Дополнение объединения — это пересечение дополнений, а пересечение конечных множеств конечно (если среди множеств есть $\varnothing$ , его можно просто выкинуть из объединения). Дополнение пересечения двух множеств — объединение двух конечных дополнений, оно тоже конечно. Если же одно из двух множеств пустое, то и пересечение пустое, а оно открыто по определению.

Индуцированная топология. Пусть $Y \subset X$ . Объявим открытыми в $Y$ множества вида $U \cap Y$ , где $U$ открыто в $X$ . Это топология на $Y$ , она нужна, чтобы говорить о непрерывности функций на отрезке, сфере и любом другом подмножестве. Открытость в $Y$ и открытость в $X$ — разные вещи. Например, в $Y = [0, 1]$ множество $[0, 1/2) = (-1, 1/2) \cap [0, 1]$ открыто, хотя на прямой оно не открыто. А $\mathbb{Z}$ получает от прямой дискретную топологию: $\{n\} = (n - 1/2,\, n + 1/2) \cap \mathbb{Z}$ .

Задача. Какие множества открыты в $Y = [0, 1]$ с топологией, индуцированной с прямой?

Разбор

$(1/2, 1] = (1/2, 2) \cap [0, 1]$ , а $[0, 1]$ — это всё $Y$ . А вот $\{0\}$ и $[0, 1/2]$ не получить как пересечение открытого множества прямой с отрезком: любое открытое множество, содержащее $0$ или $1/2$ , содержит и соседние точки отрезка.

Непрерывность и сходимость

То, что раньше было теоремами, теперь становится определениями.

Определение (непрерывность и сходимость).

Отображение $f\colon X \to Y$ топологических пространств непрерывно, если прообраз любого открытого множества открыт.

Последовательность $(x_n)$ сходится к $a$ , если в любой окрестности $a$ лежат все члены, начиная с некоторого.

Сразу видно, что любое отображение из дискретного пространства непрерывно: там открыт любой прообраз. А любое отображение в антидискретное пространство тоже непрерывно: прообразы $\varnothing$ и $Y$ — это $\varnothing$ и $X$ , а они открыты всегда.

Со сходимостью в новых пространствах начинаются чудеса.

Задача. Пусть $X$ — множество с антидискретной топологией, а $(x_n)$ — какая-то последовательность в нём. К каким точкам она сходится?

Ни к каким, если она не постоянна
Только к одной точке
К любой точке $X$

Разбор

У каждой точки $a$ одна окрестность — всё $X$ . В ней лежат вообще все члены последовательности, поэтому $x_n \to a$ для любого $a$ .

Задача. На $\mathbb{R}$ топология конечных дополнений. К каким числам сходится последовательность $x_n = n$ ?

Ни к каким
Только к $+\infty$ , а это не число
Только к $0$
К каждому числу

Разбор

Возьмём любое $a$ и его окрестность $U$ . Её дополнение конечно, поэтому в нём лежит лишь конечное число членов последовательности: все $x_n$ разные. Значит, начиная с некоторого номера все $x_n$ лежат в $U$ , и $x_n \to a$ .

Хаусдорфовость

Предел перестал быть единственным. В метрических пространствах так не бывает, и причина — свойство, которое мы доказали в уроке про определение метрики (1.3): разные точки можно разделить окрестностями. У этого свойства есть имя.

Определение (хаусдорфово пространство).

Топологическое пространство называется хаусдорфовым, если у любых двух различных точек есть непересекающиеся окрестности.

Любое метрическое пространство хаусдорфово: годятся шары радиуса $\rho(x, y)/2$ вокруг $x$ и $y$ . А хаусдорфовость — это ровно то, что нужно для единственности предела.

Теорема (единственность предела).

В хаусдорфовом пространстве у последовательности не больше одного предела.

Доказательство

Пусть $x_n \to a$ и $x_n \to b$ , причём $a \ne b$ . Возьмём непересекающиеся окрестности $U \ni a$ и $V \ni b$ . Начиная с некоторого номера все $x_n$ лежат в $U$ , а начиная с некоторого другого — в $V$ . Тогда члены с большими номерами лежат в $U \cap V = \varnothing$ , противоречие.

Отсюда сразу видно, что не всякая топология берётся из метрики. В антидискретной топологии на множестве из хотя бы двух точек у каждой точки одна окрестность — всё $X$ , и разделить точки нельзя. В топологии конечных дополнений на бесконечном множестве любые два непустых открытых множества пересекаются: их дополнения конечны, и вместе они не могут покрыть всё $X$ . Значит, эти топологии не хаусдорфовы, и никакая метрика их не задаёт. Топологические пространства — действительно более широкий класс пространств, чем метрические.

Насколько хорошо разделены точки

Хаусдорфовость — не единственный способ сказать, что точки «различимы». Есть целая лестница всё более сильных условий, их называют аксиомами отделимости. Пусть $x \ne y$ — две точки пространства $X$ .

Определение (аксиомы отделимости).

$X$ — $T_0$ -пространство, если у одной из точек $x$ , $y$ есть окрестность, не содержащая другую.
$X$ — $T_1$ -пространство, если у каждой из точек есть окрестность, не содержащая другую.
$X$ — $T_2$ -пространство, или хаусдорфово, если у точек есть непересекающиеся окрестности.

Каждое условие сильнее предыдущего: $T_2 \Rightarrow T_1 \Rightarrow T_0$ . Смысл у них такой.

$T_0$ : точки можно различить открытыми множествами. Если $T_0$ нарушено, то у $x$ и $y$ одни и те же окрестности, и никакая топологическая конструкция их не отличит.
$T_1$ : каждая точка замкнута. Это удобная переформулировка, докажем её ниже.
$T_2$ : пределы единственны, как мы только что видели.

Утверждение (

T_1

через замкнутость точек).

Пространство $X$ является $T_1$ -пространством тогда и только тогда, когда каждая точка $\{x\}$ замкнута.

Доказательство

Пусть точки замкнуты, и $x \ne y$ . Тогда $X \setminus \{y\}$ — открытое множество, оно содержит $x$ и не содержит $y$ . Симметрично для $y$ .

Обратно, пусть $X$ — $T_1$ -пространство, и $x \in X$ . Для каждой $y \ne x$ возьмём окрестность $U_y \ni y$ , не содержащую $x$ . Их объединение открыто и равно $X \setminus \{x\}$ . Значит, $\{x\}$ замкнуто.

Примеры показывают, что все три ступеньки разные.

Топология конечных дополнений на бесконечном множестве: $T_1$ , но не $T_2$ . Точки замкнуты, их дополнения открыты. Но любые два непустых открытых множества пересекаются.
Связное двоеточие $\{\varnothing, \{a\}, \{a, b\}\}$ : $T_0$ , но не $T_1$ . Окрестность $\{a\}$ отличает $a$ от $b$ , а вот у $b$ единственная окрестность — всё пространство, и $a$ в ней лежит.
Антидискретная топология на двух точках: не $T_0$ . Обе точки имеют одну окрестность, всё $X$ .

Полезно запомнить и такое наблюдение: конечное $T_1$ -пространство дискретно. В нём каждая точка замкнута, значит, замкнуто любое подмножество как конечное объединение точек, а тогда и любое подмножество открыто. Поэтому на конечных множествах интересные топологии всегда нарушают $T_1$ .

Есть и более сильные аксиомы, $T_3$ и $T_4$ : там отделяются не только точки друг от друга, но и точки от замкнутых множеств или замкнутые множества друг от друга. До них мы дойдём, когда появятся компактные пространства, на которых они по-настоящему работают.

Задача. Какие из пространств хаусдорфовы?

$\mathbb{R}$ с обычной топологией
Любое множество с дискретной топологией
Плоскость с парижской метрикой
Двухточечное множество с антидискретной топологией
$\mathbb{R}$ с топологией конечных дополнений
Связное двоеточие

Разбор

Первые три пространства метрические, поэтому хаусдорфовы. Дискретную топологию даёт дискретная метрика, а парижская метрика хоть и странная, но всё же метрика. Остальные три не хаусдорфовы, как мы выяснили выше.

Задача. На множестве $\{a, b, c\}$ задана топология $\{\varnothing, \{a\}, \{a, b\}, \{a, b, c\}\}$ . Какие аксиомы в ней выполнены?

$T_0$
$T_1$
$T_2$
Никакие

Разбор

$T_0$ выполнено: $\{a\}$ отличает $a$ от $b$ и от $c$ , а $\{a, b\}$ отличает $b$ от $c$ . $T_1$ нет: пространство конечное и не дискретное, а конечное $T_1$ -пространство обязано быть дискретным. Например, у $c$ единственная окрестность — всё пространство. А раз нет $T_1$ , нет и $T_2$ .

Что получилось

Топология на множестве — это выбор, какие подмножества считать открытыми, с тремя аксиомами: $\varnothing$ и $X$ открыты, любые объединения и конечные пересечения открытых открыты.
Замкнутые множества — дополнения открытых. «Замкнуто» не значит «не открыто».
Топологии бывают из метрики, дискретные, антидискретные, конечных дополнений, индуцированные на подмножествах.
Непрерывность и сходимость теперь определяются только через открытые множества. При этом предел последовательности может оказаться не единственным.
Предел единственный в хаусдорфовых пространствах, где точки разделяются окрестностями. Это аксиома отделимости $T_2$ . Более слабые $T_1$ (точки замкнуты) и $T_0$ (точки различимы) тоже встречаются, и все три различны. Метрические пространства хаусдорфовы, поэтому нехаусдорфовы топологии из метрики не получить.