Непрерывность и подпространства

В уроке про определение топологии (1.5) непрерывность стала определением: прообраз любого открытого множества открыт. С тех пор у нас появились новые слова: замкнутость, замыкание, внутренность, окрестность точки. Непрерывность можно пересказать на каждом из этих языков, и, как с замкнутостью в прошлом уроке, разные пересказы удобны в разных задачах.

Вторая тема урока — подпространства. В анализе функции постоянно задаются не на всей прямой, а на отрезке, на полуинтервале, на окружности, на поверхности. Чтобы говорить об их непрерывности, нужно понять, какие множества открыты внутри подмножества. Ответ простой, но в нём есть ловушка: множество может быть открытым в отрезке и не быть открытым на прямой.

Непрерывность: много определений

Начнём с наблюдения из анализа. Пусть $f$ непрерывна и $x_n \to a$ , тогда $f(x_n) \to f(a)$ . Если все $x_n$ лежат в множестве $A$ , то $a$ — точка прикосновения $A$ , а $f(a)$ — точка прикосновения $f(A)$ . Получается, что непрерывная функция не «отрывает» прилипшие точки: что прилегало к $A$ , после отображения прилегает к $f(A)$ . На языке замыканий это $f(\overline{A}) \subset \overline{f(A)}$ .

Второе знакомое описание — непрерывность в точке. В уроке про непрерывность без ε и δ (1.1) мы переписали её через окрестности, и в топологическом пространстве это становится определением.

Определение (непрерывность в точке).

Отображение $f\colon X \to Y$ топологических пространств непрерывно в точке $x_0$ , если для любой окрестности $V$ точки $f(x_0)$ найдётся окрестность $U$ точки $x_0$ , такая что $f(U) \subset V$ .

Это дословно определение «на языке $\varepsilon$ и $\delta$ », только вместо интервалов $(f(x_0) - \varepsilon, f(x_0) + \varepsilon)$ и $(x_0 - \delta, x_0 + \delta)$ стоят окрестности.

Теорема (равносильные определения непрерывности).

Для отображения $f\colon X \to Y$ топологических пространств следующие условия эквивалентны:

прообраз любого открытого множества открыт;
прообраз любого замкнутого множества замкнут;
$f(\overline{A}) \subset \overline{f(A)}$ для любого $A \subset X$ ;
$f$ непрерывна в каждой точке.

Схема доказательства

Доказываем лесенкой $1 \Rightarrow 2 \Rightarrow 3 \Rightarrow 4 \Rightarrow 1$ . Первая ступенька — переход к дополнениям. Во второй работает то, что замыкание — наименьшее замкнутое множество. В третьей условие 3 применяется к множеству точек, которые «вылетают» из окрестности $V$ . А в четвёртой прообраз собирается из окрестностей своих точек.

Доказательство

Дополнение прообраза — это прообраз дополнения: X ∖ f⁻¹(F) = f⁻¹(Y ∖ F). Множество Y ∖ F открыто, его прообраз открыт, значит, f⁻¹(F) замкнуто.

1 ⇒ 2. Пусть $F \subset Y$ замкнуто. Точка не попадает в $F$ ровно тогда, когда её образ лежит в $Y \setminus F$ , поэтому

X \setminus f^{-1}(F) = f^{-1}(Y \setminus F).

Справа прообраз открытого множества, он открыт. Значит, $f^{-1}(F)$ замкнуто.

2 ⇒ 3. Множество $\overline{f(A)}$ замкнуто, и по условию 2 его прообраз тоже замкнут. Этот прообраз содержит $A$ , ведь $f(A) \subset \overline{f(A)}$ . А $\overline{A}$ — наименьшее замкнутое множество, содержащее $A$ . Значит, $\overline{A} \subset f^{-1}\bigl(\overline{f(A)}\bigr)$ , то есть $f(\overline{A}) \subset \overline{f(A)}$ .

3 ⇒ 4. Пусть $x_0 \in X$ и $V$ — окрестность $f(x_0)$ . Рассмотрим множество точек, которые «вылетают» из $V$ : $A = X \setminus f^{-1}(V)$ . Его образ лежит в $Y \setminus V$ , а это множество замкнуто, поэтому и $\overline{f(A)} \subset Y \setminus V$ . Точка $f(x_0)$ лежит в $V$ , значит, $f(x_0) \notin \overline{f(A)}$ , и по условию 3 $x_0 \notin \overline{A}$ . Тогда у $x_0$ есть окрестность $U$ , которая не задевает $A$ . Это и значит, что $U \subset f^{-1}(V)$ , то есть $f(U) \subset V$ .

4 ⇒ 1. Пусть $V$ открыто и $x \in f^{-1}(V)$ . Тогда $V$ — окрестность $f(x)$ , и по условию 4 есть окрестность $U_x$ точки $x$ с $f(U_x) \subset V$ , то есть $U_x \subset f^{-1}(V)$ . Значит,

f^{-1}(V) = \bigcup_{x \in f^{-1}(V)} U_x

— объединение открытых множеств, и оно открыто.

Включение в условии 3 бывает строгим. Возьмём $f = \operatorname{arctg}$ и $A = \mathbb{R}$ . Тогда $f(\overline{A}) = \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ , а $\overline{f(A)} = \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ : точки $\pm\frac{\pi}{2}$ прилегают к образу, но ни один прообраз к ним не приводит.

В метрических пространствах к списку добавляется пятое условие, непрерывность по Гейне: если $x_n \to a$ , то $f(x_n) \to f(a)$ . Мы проверяли это в уроке про определение метрики (1.3). В общих топологических пространствах последовательностей может не хватить, и об этом урок «Когда последовательностей не хватает» (2.5).

Задача (через внутренность).

Докажите, что $f$ непрерывна тогда и только тогда, когда $f^{-1}(\operatorname{Int} B) \subset \operatorname{Int} f^{-1}(B)$ для любого $B \subset Y$ .

Решение

«⇒». Множество $f^{-1}(\operatorname{Int} B)$ открыто как прообраз открытого и лежит в $f^{-1}(B)$ . А $\operatorname{Int} f^{-1}(B)$ — наибольшее открытое множество внутри $f^{-1}(B)$ , поэтому оно содержит $f^{-1}(\operatorname{Int} B)$ .

«⇐». Пусть $V$ открыто, тогда $\operatorname{Int} V = V$ , и условие даёт $f^{-1}(V) \subset \operatorname{Int} f^{-1}(V)$ . Значит, все точки $f^{-1}(V)$ внутренние, и оно открыто.

Задача. Пусть $f\colon X \to Y$ — отображение топологических пространств. Какие условия равносильны непрерывности $f$ ?

$f^{-1}(\overline{B})$ замкнуто для любого $B \subset Y$
$\overline{f(A)} \subset f(\overline{A})$ для любого $A \subset X$
для любой точки $x$ и любой окрестности $V$ точки $f(x)$ множество $f^{-1}(V)$ содержит окрестность $x$
образ любого открытого множества открыт

Разбор

Первое условие — это условие 2 теоремы: замкнутые множества — ровно те, что совпадают со своим замыканием, так что $\overline{B}$ пробегает все замкнутые множества. Третье — это непрерывность в каждой точке: если $U \subset f^{-1}(V)$ , то $f(U) \subset V$ .

Обратное включение ничего не гарантирует. Тождественное отображение из обычной прямой в дискретную не непрерывно, но в дискретной прямой $\overline{f(A)} = A \subset \overline{A}$ . А про образы открытых множеств непрерывность ничего не говорит, об этом через шаг.

Как доказывать открытость и замкнутость

Условие 2 — главный практический инструмент топологии. Множества, заданные уравнениями и нестрогими неравенствами, замкнуты, а заданные строгими неравенствами — открыты, если участвующие функции непрерывны.

Следствие (множества, заданные неравенствами).

Пусть $f\colon X \to \mathbb{R}$ непрерывна и $c \in \mathbb{R}$ . Тогда множества $\{f = c\}$ , $\{f \le c\}$ и $\{f \ge c\}$ замкнуты, а $\{f < c\}$ , $\{f > c\}$ и $\{f \ne c\}$ открыты.

Доказательство

Это прообразы замкнутых множеств $\{c\}$ , $(-\infty, c]$ , $[c, +\infty)$ и открытых $(-\infty, c)$ , $(c, +\infty)$ , $\mathbb{R} \setminus \{c\}$ .

Никаких шаров и $\varepsilon$ больше не нужно, достаточно знать, что функция непрерывна. Непрерывность многочленов, синусов и экспонент на $\mathbb{R}^n$ известна из анализа.

Окружность $\{x^2 + y^2 = 1\}$ и сфера замкнуты, а открытый круг $\{x^2 + y^2 < 1\}$ открыт.
График непрерывной функции $\varphi\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ замкнут в $\mathbb{R}^2$ : это множество нулей непрерывной функции $y - \varphi(x)$ .
Матрицы. Матрицы $n \times n$ — это точки $\mathbb{R}^{n^2}$ , а определитель — многочлен от элементов матрицы. Поэтому невырожденные матрицы $\{\det A \ne 0\}$ образуют открытое множество: маленькое шевеление невырожденной матрицы оставляет её невырожденной. А ортогональные матрицы $\{A^{\mathsf T} A = E\}$ задаются $n^2$ уравнениями на многочлены от элементов. Каждое задаёт замкнутое множество, и их пересечение замкнуто.

Если множество задано несколькими условиями сразу, оно — пересечение множеств, заданных каждым условием. Конечное пересечение открытых открыто, а любое пересечение замкнутых замкнуто.

Задача. Какие подмножества плоскости замкнуты?

$\{(x, y) : x^2 + y^4 \le 3\}$
$\{(x, y) : \sin(xy) = 0\}$
$\{(x, y) : 0 < x^2 + y^2 \le 1\}$
$\{(x, y) : y = e^x\}$
$\{(x, y) : x > 0,\ y = \sin(1/x)\}$

Разбор

Первые два множества — прообразы $(-\infty, 3]$ и $\{0\}$ при непрерывных функциях. Третье — выколотый круг: точка $(0, 0)$ к нему прилегает, но в него не входит. Четвёртое — график непрерывной функции. Пятое — график $\sin(1/x)$ при $x > 0$ : из прошлого урока мы знаем, что к нему прилипает целый вертикальный отрезок над нулём. Наш приём тут не работает, потому что функция $y - \sin(1/x)$ не определена на всей плоскости.

Чего непрерывность не делает

Все условия теоремы говорят о прообразах, а для замыканий дают включение только в одну сторону. Образы непрерывное отображение не бережёт.

Образ открытого не обязательно открыт. Функция $x^2$ переводит интервал $(-1, 1)$ в $[0, 1)$ , а постоянное отображение переводит всю прямую в точку.
Образ замкнутого не обязательно замкнут. Гипербола $\{xy = 1\}$ замкнута по предыдущему шагу. А её проекция на ось абсцисс $(x, y) \mapsto x$ — это $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ , и это множество не замкнуто. Ещё проще: $\operatorname{arctg}$ переводит замкнутую прямую в интервал.

Отображения, при которых образы открытых множеств открыты, называют открытыми, а те, при которых образы замкнутых замкнуты, — замкнутыми. Это отдельные свойства, и непрерывность их не влечёт. Открытые отображения понадобятся уже в следующем уроке про гомеоморфизмы. А в модуле про компактность мы увидим, почему образ отрезка при непрерывной функции всё-таки замкнут: дело не в непрерывности самой по себе, а в том, что отрезок компактен.

Задача. Пусть $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ непрерывна. Что верно для любой такой $f$ ?

$\{x : f(x) = 0\}$ замкнуто
$f(\mathbb{R})$ замкнуто
$f\bigl((0, 1)\bigr)$ открыто
$f\bigl([0, 1]\bigr)$ замкнуто
$\{x : f(x) > 0\}$ открыто

Разбор

Первое и последнее — прообразы замкнутого $\{0\}$ и открытого $(0, +\infty)$ . Образ $\operatorname{arctg}(\mathbb{R})$ — интервал, он не замкнут. Постоянная функция переводит $(0, 1)$ в точку, а точка не открыта. Образ отрезка замкнут по теоремам анализа: по теореме Вейерштрасса функция принимает наименьшее значение $m$ и наибольшее $M$ , а по теореме о промежуточном значении — всё между ними, так что $f([0, 1]) = [m, M]$ .

Подпространство

Вернёмся к анализу. Непрерывность функции на отрезке $[0, 1]$ в точке $0$ проверяют только справа: роль $\delta$ -окрестности нуля играет $[0, \delta)$ , а точек левее нуля просто нет. Другой пример: $\sqrt{x}$ задан на $[0, +\infty)$ , и прообраз интервала $(-1, 1)$ равен $[0, 1)$ . На прямой это множество не открыто, но $\sqrt{x}$ все считают непрерывной.

Значит, на $[0, +\infty)$ своя открытость: окрестности точек здесь — обычные окрестности, обрезанные этим множеством.

Определение (подпространство).

Пусть $X$ — топологическое пространство и $A \subset X$ . Индуцированная топология на $A$ состоит из следов на $A$ открытых множеств $X$ :

\tau_A = \{U \cap A : U \text{ открыто в } X\}.

Множество $A$ с этой топологией называется подпространством $X$ .

Утверждение (это действительно топология).

Семейство $\tau_A$ удовлетворяет аксиомам топологии. Если $\mathcal{B}$ — база топологии $X$ , то $\{B \cap A : B \in \mathcal{B}\}$ — база топологии $\tau_A$ .

Доказательство

$\varnothing = \varnothing \cap A$ и $A = X \cap A$ . Объединение и пересечение следов — следы объединения и пересечения:

\bigcup_\alpha (U_\alpha \cap A) = \Bigl(\bigcup_\alpha U_\alpha\Bigr) \cap A, \qquad (U_1 \cap A) \cap (U_2 \cap A) = (U_1 \cap U_2) \cap A.

Про базу: любое открытое $U$ — объединение элементов $B_\alpha \in \mathcal{B}$ , и тогда $U \cap A = \bigcup_\alpha (B_\alpha \cap A)$ .

В анализе на отрезке расстояние берут то же самое, $|x - y|$ . Хорошо, что это не противоречит новому определению.

Утверждение (подпространство метрического пространства).

Пусть $(X, \rho)$ — метрическое пространство и $A \subset X$ . Метрика $\rho$ , суженная на $A$ , задаёт на $A$ индуцированную топологию.

Доказательство

Шар в $A$ — это след шара: $B_A(a, r) = \{x \in A : \rho(x, a) < r\} = B(a, r) \cap A$ . Поэтому множество, открытое в метрике на $A$ , — объединение следов шаров, то есть след объединения шаров, и оно лежит в $\tau_A$ . Обратно, пусть $U$ открыто в $X$ и $a \in U \cap A$ . Есть шар $B(a, r) \subset U$ , и тогда $B_A(a, r) \subset U \cap A$ . Значит, $U \cap A$ открыто в метрике на $A$ .

Так что все подмножества $\mathbb{R}^n$ из анализа — подпространства, и всё, что мы знаем про функции на них, вписывается в новый язык. Примеры:

Отрезок $[0, 1] \subset \mathbb{R}$ . Множество $[0, 1/2) = (-1, 1/2) \cap [0, 1]$ открыто в $[0, 1]$ .
Окружность $S^1 \subset \mathbb{R}^2$ . Открытый круг высекает на ней открытую дугу, поэтому открытые множества окружности — объединения открытых дуг.
Целые числа $\mathbb{Z} \subset \mathbb{R}$ . Каждая точка $\{n\} = (n - \frac12, n + \frac12) \cap \mathbb{Z}$ открыта, так что топология на $\mathbb{Z}$ дискретная.
Рациональные числа $\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$ . Открытые множества — объединения «рациональных интервалов» $(a, b) \cap \mathbb{Q}$ . Ни одна точка не открыта: любой интервал содержит бесконечно много рациональных чисел.
Прямая в плоскости $\mathbb{R} \times \{0\} \subset \mathbb{R}^2$ . Открытый круг высекает на ней интервал, и получается обычная прямая.

Подпространство хаусдорфова пространства хаусдорфово: если $U$ и $V$ — непересекающиеся окрестности точек $a, b \in A$ в $X$ , то $U \cap A$ и $V \cap A$ — непересекающиеся окрестности в $A$ . Подпространство дискретного пространства дискретно, а антидискретного — антидискретно.

Задача. Какие подпространства прямой дискретны?

$\mathbb{Z}$
$\{1/n : n \in \mathbb{N}\}$
$\{0\} \cup \{1/n : n \in \mathbb{N}\}$
$\mathbb{Q}$
$\{n + 1/n : n \in \mathbb{N}\}$

Разбор

Подпространство дискретно, если каждая его точка открыта в нём, то есть вокруг каждой точки есть интервал, в котором других точек множества нет. Иначе говоря, все точки изолированные. У $\mathbb{Z}$ , $\{1/n\}$ и $\{n + 1/n\}$ так и есть. В третьем множестве точка $0$ предельная: любой интервал вокруг неё задевает точки $1/n$ , поэтому $\{0\}$ не открыто. А в $\mathbb{Q}$ предельные все точки.

Открыто в A или открыто в X

Теперь у слова «открыто» появился уточняющий вопрос: где? Множество $[0, 1/2)$ открыто в $[0, 1]$ , но не открыто в $\mathbb{R}$ . Интервал $(0, 1)$ замкнут в самом себе, как любое пространство, но не замкнут в $\mathbb{R}$ . Замкнутые множества и замыкание в подпространстве устроены так же, как открытые множества: это следы.

Утверждение (замкнутые множества и замыкание в подпространстве).

Пусть $A \subset X$ — подпространство и $B \subset A$ .

$B$ замкнуто в $A$ тогда и только тогда, когда $B = F \cap A$ для некоторого замкнутого в $X$ множества $F$ .
Замыкание $B$ в $A$ равно $\overline{B} \cap A$ , где $\overline{B}$ — замыкание в $X$ .

Доказательство

1. $B$ замкнуто в $A$ , если $A \setminus B$ открыто в $A$ , то есть $A \setminus B = U \cap A$ для открытого $U$ . Это то же самое, что $B = A \setminus U = (X \setminus U) \cap A$ , а $X \setminus U$ — произвольное замкнутое множество.

2. Замыкание в $A$ — наименьшее замкнутое в $A$ множество, содержащее $B$ . Множество $\overline{B} \cap A$ замкнуто в $A$ по пункту 1 и содержит $B$ , поэтому замыкание в $A$ лежит в нём. Обратно, замыкание в $A$ по пункту 1 имеет вид $F \cap A$ с замкнутым $F$ . Раз $F \supset B$ , то $F \supset \overline{B}$ , и $\overline{B} \cap A \subset F \cap A$ .

Несколько примеров, в которых легко ошибиться:

$(0, 1]$ замкнуто в $(0, 2)$ : это $[0, 1] \cap (0, 2)$ . Точка $0$ , которой не хватает до замкнутости на прямой, в подпространство просто не входит.
График $\sin(1/x)$ на $(0, 1]$ не замкнут в плоскости, но замкнут в полосе $(0, 1] \times \mathbb{R}$ . Его замыкание в плоскости добавляет отрезок над нулём, а этот отрезок в полосу не входит.
В $\mathbb{Q}$ бывают множества, которые открыты и замкнуты одновременно, например $\{q \in \mathbb{Q} : q > \sqrt{2}\}$ . Это след и открытого луча $(\sqrt{2}, +\infty)$ , и замкнутого $[\sqrt{2}, +\infty)$ : точка $\sqrt{2}$ , на которой они различаются, не рациональна. На прямой такого не бывает. Это первое проявление того, что $\mathbb{Q}$ «рассыпано на куски», мы вернёмся к этому в модуле про связность.

Когда само подпространство открыто или замкнуто, путаницы нет.

Утверждение (когда «в A» и «в X» совпадают).

Пусть $B \subset A \subset X$ . Если $A$ открыто в $X$ , то $B$ открыто в $A$ тогда и только тогда, когда $B$ открыто в $X$ . Если $A$ замкнуто в $X$ , то же верно для замкнутости.

Доказательство

Если $B$ открыто в $X$ , то $B = B \cap A$ открыто в $A$ . Обратно, если $B = U \cap A$ с открытым $U$ , то $B$ — пересечение двух открытых в $X$ множеств. Для замкнутых то же, только по пункту 1 предыдущего утверждения.

Задача. Пусть $A = [0, 1) \cup \{2\} \subset \mathbb{R}$ . Какие множества открыты в $A$ ?

Разбор

$\{2\} = (1{,}5;\ 2{,}5) \cap A$ , $[0, 1/2) = (-1, 1/2) \cap A$ и $[0, 1) = (-1, 1) \cap A$ . Любой интервал вокруг $0$ задевает другие точки $[0, 1)$ , поэтому $\{0\}$ не открыто. Так же любой интервал вокруг $1/2$ задевает точки левее $1/2$ , и $[1/2, 1)$ не открыто. Заметьте, что $[0, 1)$ в $A$ ещё и замкнуто: это $[0, 1] \cap A$ .

Задача. Какие подмножества $\mathbb{Q}$ одновременно открыты и замкнуты в $\mathbb{Q}$ ?

$\{q \in \mathbb{Q} : q < \pi\}$
$\{q \in \mathbb{Q} : q < 0\}$
$\{q \in \mathbb{Q} : q^2 < 2\}$
$\mathbb{Q} \cap [0, 1]$
$\varnothing$

Разбор

Множество $\{q < \pi\}$ — след и $(-\infty, \pi)$ , и $(-\infty, \pi]$ , потому что $\pi$ не рационально. Так же $\{q^2 < 2\}$ — след и $(-\sqrt2, \sqrt2)$ , и $[-\sqrt2, \sqrt2]$ . А в $\{q < 0\}$ рациональная точка $0$ прилегает к множеству, но не входит в него, так что оно не замкнуто в $\mathbb{Q}$ . Множество $\mathbb{Q} \cap [0, 1]$ замкнуто, но не открыто: около $0$ есть отрицательные рациональные числа. Пустое множество открыто и замкнуто в любом пространстве.

Теперь можно говорить о непрерывности отображений между подпространствами, и всё работает так, как хочется.

Утверждение (включение, сужение, сужение значений).

Пусть $A \subset X$ — подпространство.

Включение $i\colon A \to X$ , $i(a) = a$ , непрерывно.
Если $f\colon X \to Y$ непрерывно, то сужение $f|_A\colon A \to Y$ непрерывно.
Пусть $f\colon Z \to X$ и $f(Z) \subset A$ . Тогда $f$ непрерывно как отображение в $X$ тогда и только тогда, когда оно непрерывно как отображение в $A$ .

Доказательство

1. $i^{-1}(U) = U \cap A$ , а это по определению открыто в $A$ .

2. $f|_A = f \circ i$ — композиция непрерывных отображений. Она непрерывна: $(f \circ i)^{-1}(V) = i^{-1}\bigl(f^{-1}(V)\bigr)$ .

3. Открытые множества $A$ — это $U \cap A$ , и так как $f$ принимает значения в $A$ , $f^{-1}(U \cap A) = f^{-1}(U)$ . Поэтому прообразы открытых множеств $A$ и прообразы открытых множеств $X$ — одни и те же множества.

Пункт 1 объясняет, почему индуцированная топология именно такая. Чтобы включение было непрерывным, все множества $i^{-1}(U) = U \cap A$ должны быть открыты. Индуцированная топология — самая слабая топология на $A$ , в которой включение непрерывно, и ничего лишнего в ней нет.

Пункт 3 позволяет не беспокоиться о том, куда «смотрит» отображение. Отображение $t \mapsto (\cos t, \sin t)$ непрерывно как отображение $\mathbb{R} \to S^1$ , потому что оно непрерывно в $\mathbb{R}^2$ . А $\operatorname{arctg}$ непрерывен как отображение $\mathbb{R} \to \left(-\frac\pi2, \frac\pi2\right)$ .

Слова из анализа « $f$ непрерывна на отрезке $[a, b]$ » означают ровно непрерывность отображения $f\colon [a, b] \to \mathbb{R}$ из подпространства. Односторонняя непрерывность в концах — это непрерывность в точке в смысле подпространства: окрестности конца $a$ в $[a, b]$ — это $[a, a + \delta)$ и всё, что их содержит.

Замечание (Сужение может быть лучше исходной функции).

Функция Дирихле $D(x)$ , равная $1$ на рациональных числах и $0$ на иррациональных, не непрерывна ни в одной точке прямой. Но её сужение на $\mathbb{Q}$ — постоянная $1$ , и оно непрерывно. Непрерывность сужения $f|_A$ в точке $a$ говорит только о значениях $f$ на $A$ , и из неё не следует, что сама $f$ непрерывна в $a$ как функция на X.

Задача. Какие отображения непрерывны? На прямой обычная топология, на её подмножествах — индуцированная.

$\sqrt{x}\colon [0, +\infty) \to \mathbb{R}$
$D|_{\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}}\colon \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \to \mathbb{R}$ , где $D$ — функция Дирихле
любое отображение $\mathbb{Z} \to \mathbb{R}$
любое отображение $\mathbb{Q} \to \mathbb{R}$
$\operatorname{sign}|_{\mathbb{R} \setminus \{0\}}\colon \mathbb{R} \setminus \{0\} \to \{-1, 1\}$

Разбор

Корень непрерывен в смысле анализа, а это и есть непрерывность на подпространстве. Сужение функции Дирихле на иррациональные числа — постоянный ноль. $\mathbb{Z}$ дискретно, а из дискретного пространства непрерывно всё. А $\mathbb{Q}$ не дискретно: функция, равная $1$ в нуле и $0$ в остальных точках, не непрерывна, ведь прообраз $(1/2, 2)$ — это $\{0\}$ , а он не открыт в $\mathbb{Q}$ . Знак на $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ постоянен на каждом из открытых лучей $(-\infty, 0)$ и $(0, +\infty)$ , поэтому прообраз любого множества — объединение лучей, и он открыт.

Склейка

В анализе функции часто задают кусками: одна формула при $x \le 0$ , другая при $x \ge 0$ . Если на стыке значения совпадают, функция непрерывна. Это частный случай общего факта.

Теорема (лемма о склейке).

Пусть $X = F_1 \cup F_2$ , где $F_1$ и $F_2$ замкнуты, и $f\colon X \to Y$ . Если сужения $f|_{F_1}$ и $f|_{F_2}$ непрерывны, то $f$ непрерывно. То же верно для любого конечного числа замкнутых кусков и для любого числа открытых.

Схема доказательства

Прообраз при $f$ складывается из прообразов при сужениях. Если куски замкнуты, то замкнутое в куске замкнуто во всём $X$ , и прообраз замкнутого множества — конечное объединение замкнутых. Если куски открыты, то же рассуждение работает с открытыми множествами, а их можно объединять сколько угодно.

Доказательство

Пусть $C \subset Y$ замкнуто. Каждая точка лежит в $F_1$ или в $F_2$ , поэтому

f^{-1}(C) = (f|_{F_1})^{-1}(C) \cup (f|_{F_2})^{-1}(C).

Множество $(f|_{F_i})^{-1}(C)$ замкнуто в $F_i$ , потому что сужение непрерывно. А $F_i$ замкнуто в $X$ , поэтому по утверждению из прошлого шага оно замкнуто и в $X$ . Объединение двух замкнутых множеств замкнуто. Для $n$ кусков рассуждение то же.

Пусть теперь $X = \bigcup_\alpha U_\alpha$ с открытыми $U_\alpha$ и $V \subset Y$ открыто. Тогда $f^{-1}(V) = \bigcup_\alpha (f|_{U_\alpha})^{-1}(V)$ . Каждое множество в объединении открыто в $U_\alpha$ , а значит, и в $X$ . Объединение открытых открыто.

Замкнутость кусков важна. Функция, равная $0$ при $x < 0$ и $1$ при $x \ge 0$ , непрерывна на каждом из кусков $(-\infty, 0)$ и $[0, +\infty)$ : там она постоянна. Но целиком у неё разрыв. Первый кусок не замкнут: точка $0$ к нему прилегает, а значение в ней задаёт другой кусок.

Конечность для замкнутых кусков тоже важна. Прямая — объединение своих точек, каждая точка замкнута, а на точке любая функция непрерывна. Но из этого ничего не следует, потому что бесконечное объединение замкнутых множеств не обязано быть замкнутым.

А версия с открытыми кусками говорит, что непрерывность — локальное свойство: проверять её можно на любом открытом покрытии, по кусочку.

Задача. Какие функции $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ непрерывны?

$f(x) = x^2$ при $x \le 1$ и $f(x) = 2x - 1$ при $x \ge 1$
$f(x) = 0$ при $x < 0$ и $f(x) = \cos x$ при $x \ge 0$
$f(x) = \max(x, 0)$
$f(x) = x$ при $x \in \mathbb{Q}$ и $f(x) = -x$ при $x \notin \mathbb{Q}$
$f(x) = \min(|x|, 1)$

Разбор

В первой функции куски $(-\infty, 1]$ и $[1, +\infty)$ замкнуты, а в точке $1$ обе формулы дают $1$ . Во второй $\cos 0 = 1$ , а слева значения нулевые, так что в нуле разрыв. Функция $\max(x, 0)$ склеена из $0$ на $(-\infty, 0]$ и $x$ на $[0, +\infty)$ . Функция $\min(|x|, 1)$ склеена из трёх замкнутых кусков: $1$ при $|x| \ge 1$ , $-x$ на $[-1, 0]$ и $x$ на $[0, 1]$ . А в четвёртой куски $\mathbb{Q}$ и $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ не замкнуты, и функция непрерывна только в нуле, где $x = -x$ .

Что получилось

Непрерывность можно определять четырьмя равносильными способами: прообразы открытых открыты, прообразы замкнутых замкнуты, $f(\overline{A}) \subset \overline{f(A)}$ , и непрерывность в каждой точке через окрестности. Третье условие значит, что непрерывное отображение не отрывает прилипшие точки.
Главный практический приём: множества, заданные уравнениями и нестрогими неравенствами на непрерывные функции, замкнуты, а строгими неравенствами — открыты.
Образы непрерывное отображение не бережёт: образ открытого не обязательно открыт, образ замкнутого не обязательно замкнут.
Подпространство $A \subset X$ получает топологию следов $U \cap A$ . Для подмножеств метрического пространства это то же, что суженная метрика. Замкнутые множества и замыкание в $A$ — тоже следы.
«Открыто в $A$ » и «открыто в $X$ » — разные вещи, если $A$ не открыто. В $\mathbb{Q}$ есть множества, которые открыты и замкнуты одновременно.
Сужения непрерывных отображений непрерывны, а сужать область значений можно свободно.
Лемма о склейке: отображение, непрерывное на конечном числе замкнутых кусков или на любом числе открытых, непрерывно целиком.

В следующем уроке мы спросим, когда два пространства «одинаковы» с точки зрения топологии. Ответ — гомеоморфизм: непрерывная биекция, у которой обратное отображение тоже непрерывно. И увидим, почему одной непрерывной биекции для этого мало.