Внутренность, замыкание, граница · Введение в топологию

В анализе постоянно звучат слова «внутренняя точка», «замыкание», «предельная точка», «граница». Обычно их вводят для подмножеств прямой или плоскости, через интервалы и шары. В этом уроке мы определим их в любом топологическом пространстве.

Ничего нового придумывать не придётся. Каждое определение вырастает из того, что у нас уже есть: внутренняя точка — из определения открытого множества, замыкание — из замкнутых множеств и пределов, граница — из первых двух. А в конце посмотрим, как эти понятия выглядят в странных топологиях из прошлых уроков.

Внутренность

В метрических пространствах мы назвали множество открытым, если вместе с каждой точкой оно содержит шар вокруг неё (а на прямой, в самом первом уроке, — интервал). В топологическом пространстве открытые множества даны изначально, так что определять их не нужно. Но свойство «лежать в множестве вместе с окрестностью» никуда не делось, и оно заслуживает своего имени.

Определение (внутренняя точка, внутренность).

Пусть $A$ — подмножество топологического пространства $X$ . Точка $x$ называется внутренней точкой $A$ , если есть открытое $U$ , такое что $x \in U \subset A$ . Иначе говоря, $A$ содержит какую-нибудь окрестность $x$ .

Множество всех внутренних точек называется внутренностью $A$ и обозначается $\operatorname{Int} A$ .

Здесь нет никакого круга: $U$ — просто множество из топологии. А старое определение открытости через шары превращается в теорему.

Утверждение (открытость через внутренние точки).

Множество $A$ открыто тогда и только тогда, когда все его точки внутренние, то есть $\operatorname{Int} A = A$ .

Доказательство

Если $A$ открыто, то для любой его точки годится $U = A$ . Обратно, пусть каждая точка $x \in A$ лежит в открытом $U_x \subset A$ . Тогда $A = \bigcup_{x \in A} U_x$ , а объединение открытых множеств открыто. Здесь и работает аксиома про объединения.

То же рассуждение даёт описание внутренности для любого множества.

Утверждение (внутренность — наибольшее открытое внутри).

$\operatorname{Int} A$ — это объединение всех открытых множеств, лежащих в $A$ . В частности, $\operatorname{Int} A$ открыто, и любое открытое $U \subset A$ лежит в $\operatorname{Int} A$ .

Доказательство

Если $x$ — внутренняя точка, то $x$ лежит в каком-то открытом $U \subset A$ , то есть в объединении. Обратно, если $x$ лежит в объединении, то $x$ лежит в одном из этих $U$ , и значит, $x$ — внутренняя точка. Объединение открытых множеств открыто.

Несколько примеров на прямой:

$\operatorname{Int}\,[0, 1] = (0, 1)$ : у концов любая окрестность вылезает за отрезок;
$\operatorname{Int}\,[0, 1) = (0, 1)$ и $\operatorname{Int}\,(0, 1) = (0, 1)$ ;
$\operatorname{Int} \mathbb{Q} = \varnothing$ : в любом интервале есть иррациональные числа;
$\operatorname{Int} \mathbb{Z} = \varnothing$ , а $\operatorname{Int}(\mathbb{R} \setminus \mathbb{Z}) = \mathbb{R} \setminus \mathbb{Z}$ , потому что это множество открыто.

Задача. У каких подмножеств прямой пустая внутренность?

$\mathbb{Q}$
$\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$
$\{1/n : n \in \mathbb{N}\}$
$([0, 1] \setminus \mathbb{Q}) \cup (2, 3)$
$\mathbb{R} \setminus \mathbb{Z}$

Разбор

В любом интервале есть и рациональные, и иррациональные числа, поэтому ни $\mathbb{Q}$ , ни его дополнение не содержат ни одного интервала. Множество $\{1/n\}$ состоит из отдельных точек, интервал в него тоже не влезет. В четвёртом множестве есть целый интервал $(2, 3)$ , а $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Z}$ открыто и совпадает со своей внутренностью.

Как точка может прилегать к множеству

Внутренние точки лежат в множестве «глубоко». Но в анализе не меньше важны точки, которые к множеству только прилегают, и встречаются они в разных местах под разными именами.

Предел функции. Запись $\lim_{x \to a} f(x)$ имеет смысл, только если к $a$ можно подойти по точкам области определения, отличным от $a$ . Сама $a$ при этом может в область не входить: $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$ . Такие $a$ называют предельными точками.
Теорема Больцано — Вейерштрасса. У любого бесконечного ограниченного множества на прямой есть предельная точка.
Граница области. Край круга, концы отрезка. В формулах Грина и Стокса интеграл по области заменяется интегралом по её границе.
Замкнутые множества. В анализе их часто определяют как множества, которые содержат все точки, к которым подходят вплотную.

Всё это описания одного явления: точка «прилипает» к множеству. Введём их все сразу, а потом увидим, что любое из них годится для определения замкнутости. Пусть $A$ — подмножество топологического пространства $X$ , а $x$ — любая точка $X$ , не обязательно из $A$ .

Определение (виды точек).

$x$ — точка прикосновения $A$ , если любая окрестность $x$ пересекается с $A$ .
$x$ — предельная точка $A$ , если любая окрестность $x$ содержит точку $A$ , отличную от самой $x$ .
$x$ — изолированная точка $A$ , если $x \in A$ и у $x$ есть окрестность, в которой из $A$ лежит только сама $x$ .
$x$ — граничная точка $A$ , если любая окрестность $x$ пересекается и с $A$ , и с $X \setminus A$ .

Для множеств таких точек есть свои названия и обозначения:

$A'$ — множество всех предельных точек, оно называется производным множеством $A$ ;
$\partial A$ — множество всех граничных точек, оно называется границей $A$ ;
множество всех точек прикосновения скоро окажется замыканием, и тогда мы обозначим его $\overline{A}$ ;
изолированные точки — это точки $A$ , которые не предельные, то есть $A \setminus A'$ ; отдельного обозначения для них не нужно.

Предельная точка «прилипает» к $A$ по-настоящему: рядом с ней всегда есть другие точки $A$ . Изолированная лежит в $A$ особняком. Точка прикосновения — это любая из них: если окрестности $x$ задевают $A$ , то либо они задевают $A$ не только в самой $x$ , и тогда $x$ предельная, либо $x \in A$ и одна из окрестностей задевает $A$ только в $x$ , и тогда $x$ изолированная.

Самое важное наблюдение касается точек вне $A$ . Для $x \notin A$ все три слова «прикосновения», «предельная» и «граничная» означают одно и то же. Любая окрестность такой точки уже задевает $X \setminus A$ , ведь там лежит сама $x$ , а любая точка $A$ в окрестности заведомо отлична от $x$ . Поэтому для $x \notin A$ каждое из трёх условий говорит просто: «любая окрестность $x$ задевает $A$ ».

Посмотрим на множество $A = (0, 1) \cup \{2\}$ на прямой.

Точки прикосновения: $[0, 1] \cup \{2\}$ .
Предельные точки: $[0, 1]$ . Точка $2$ не предельная: в окрестности $(1{,}5;\ 2{,}5)$ других точек $A$ нет.
Изолированная точка одна: $2$ .
Граница: $\{0, 1, 2\}$ . Точки интервала $(0, 1)$ не граничные: вокруг них есть интервал внутри $A$ .

Задача. Пусть $A = \{1/n : n \in \mathbb{N}\}$ . Какие утверждения верны?

$0$ — предельная точка $A$
$1/2$ — предельная точка $A$
$1/2$ — изолированная точка $A$
$1/2$ — граничная точка $A$
$-1$ — точка прикосновения $A$

Разбор

Около $0$ лежат точки $1/n$ сколь угодно малые, поэтому $0$ предельная. Вокруг $1/2$ есть интервал $(0{,}4;\ 0{,}6)$ , где из $A$ лежит только сама $1/2$ , так что она изолированная и не предельная. Но любая окрестность $1/2$ задевает и $A$ (саму $1/2$ ), и дополнение, так что она граничная. Точка $-1$ окружена интервалом $(-2, 0)$ без точек $A$ .

Замкнутость

В уроке про определение топологии (1.5) замкнутое множество определено как дополнение открытого. Но его можно определить и через любые виды точек из прошлого шага, и все эти определения совпадают.

Теорема (равносильные условия «замкнутости»).

Для подмножества $A$ топологического пространства $X$ следующие утверждения эквивалентны:

$X \setminus A$ открыто;
$A$ содержит свою границу, то есть $\partial A \subset A$ ;
$A$ содержит все свои предельные точки, то есть $A' \subset A$ ;
$A$ содержит все свои точки прикосновения.

Схема доказательства

Все четыре условия говорят одно: никакая точка вне $A$ не «прилипает» к $A$ . Доказываем лесенкой $1 \Rightarrow 2 \Rightarrow 3 \Rightarrow 4 \Rightarrow 1$ , и на каждой ступеньке рассуждение одно и то же: берём «прилипшую» точку вне $A$ и получаем противоречие.

Доказательство

X ∖ A открыто и содержит x, то есть это окрестность x. Она не задевает A, так что x не может быть граничной.

1 ⇒ 2. Пусть $x \in \partial A$ , но $x \notin A$ . Тогда $X \setminus A$ — открытое множество, содержащее $x$ , то есть окрестность $x$ . Она не пересекается с $A$ , а у граничной точки любая окрестность задевает $A$ . Противоречие.

2 ⇒ 3. Пусть $x \in A'$ , но $x \notin A$ . Любая окрестность $x$ содержит точку $A$ , а ещё саму $x$ , которая лежит в $X \setminus A$ . Значит, $x$ граничная и по условию 2 лежит в $A$ . Противоречие.

3 ⇒ 4. Пусть $x$ — точка прикосновения, но $x \notin A$ . Любая окрестность $x$ задевает $A$ , и эта точка $A$ заведомо отлична от $x$ , ведь $x \notin A$ . Значит, $x \in A'$ , и по условию 3 $x \in A$ . Противоречие.

4 ⇒ 1. Пусть $x \notin A$ . По условию 4 она не точка прикосновения, то есть у неё есть окрестность, не задевающая $A$ , а значит, лежащая в $X \setminus A$ . Так что каждая точка $X \setminus A$ внутренняя, и по теореме из первого шага $X \setminus A$ открыто.

Полезно, что можно выбирать удобное определение под задачу. На прямой:

$\mathbb{Z}$ замкнуто: предельных точек у него нет вообще, так что условие 3 выполнено бесплатно;
$\{1/n\}$ не замкнуто: его предельная точка $0$ в него не входит;
$[0, 1] \cup \{2\}$ замкнуто: граница $\{0, 1, 2\}$ лежит в множестве;
$\mathbb{Q}$ не замкнуто: любое иррациональное число — его точка прикосновения.

Задача. Какие подмножества прямой замкнуты?

$\{0\} \cup \{1/n : n \in \mathbb{N}\}$
$(0, 1] \cup \{2\}$
$\{n + 1/n : n \in \mathbb{N}\}$
$\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$
$[0, 1] \cup [2, 3]$

Разбор

У первого множества единственная предельная точка $0$ , и она внутри. У второго предельная точка $0$ не входит в множество. Точки $n + 1/n$ уходят на бесконечность и не скапливаются нигде, предельных точек нет, так что множество замкнуто. Иррациональные числа не содержат своих точек прикосновения — рациональных. Объединение двух отрезков замкнуто: дополнение $(-\infty, 0) \cup (1, 2) \cup (3, +\infty)$ открыто.

Замыкание: тоже много определений

Если множество не замкнуто, его хочется «дозамкнуть»: добавить точки, которых не хватает. И снова есть несколько естественных способов это сделать, и все дают одно и то же.

Теорема (что такое замыкание).

Для любого $A \subset X$ совпадают следующие множества:

$A \cup A'$ : точки $A$ вместе с предельными;
$A \cup \partial A$ : точки $A$ вместе с границей;
множество всех точек прикосновения $A$ ;
$X \setminus \operatorname{Int}(X \setminus A)$ ;
пересечение всех замкнутых множеств, содержащих $A$ , то есть наименьшее замкнутое множество, содержащее $A$ .

Это множество называется замыканием $A$ и обозначается $\overline{A}$ . В частности, $A$ замкнуто тогда и только тогда, когда $\overline{A} = A$ .

Схема доказательства

Докажем лесенку включений $1 \subset 2 \subset 3 \subset 4 \subset 5 \subset 1$ . Первые три ступеньки — это снова наблюдение про точки вне $A$ . Четвёртая говорит, что точка, которая не внутренняя для дополнения, не может лежать вне замкнутого множества $F \supset A$ . А последняя сводится к тому, что $A \cup A'$ само замкнуто.

Доказательство

Предельная точка x ∉ A: её окрестность U задевает A в точке a, а сама x лежит в дополнении. Значит, U задевает и A, и X ∖ A: x граничная.

Все пять множеств содержат $A$ , поэтому включения достаточно проверять для точек $x \notin A$ .

1 ⊂ 2. Если $x \in A'$ и $x \notin A$ , то $x$ граничная: её окрестности задевают $A$ , а сама она лежит в дополнении.

2 ⊂ 3. Граничная точка — точка прикосновения: её окрестности задевают $A$ .

3 ⊂ 4. Если $x$ — точка прикосновения, то ни одна её окрестность не лежит в $X \setminus A$ , то есть $x$ не внутренняя точка дополнения.

4 ⊂ 5. Пусть $x \notin \operatorname{Int}(X \setminus A)$ и $F \supset A$ замкнуто. Если бы $x \notin F$ , то $X \setminus F$ было бы открытым множеством, которое содержит $x$ и лежит в $X \setminus A$ , и $x$ оказалась бы внутренней точкой дополнения. Значит, $x \in F$ для любого такого $F$ .

5 ⊂ 1. Достаточно проверить, что $A \cup A'$ замкнуто: тогда это одно из множеств $F$ , и пересечение лежит в нём. По теореме о замкнутости надо показать, что каждая предельная точка $x$ множества $A \cup A'$ лежит в $A \cup A'$ . Пусть $x \notin A$ и $U$ — окрестность $x$ . В ней есть точка $y \in A \cup A'$ , отличная от $x$ . Если $y \in A$ , хорошо. Если $y \in A'$ , то $U$ — окрестность и для $y$ , и в ней есть точка $A$ . В обоих случаях $U$ задевает $A$ , причём не в $x$ , ведь $x \notin A$ . Значит, $x \in A'$ .

Наконец, если $A$ замкнуто, то оно само наименьшее замкнутое, содержащее $A$ , и $\overline{A} = A$ . Обратно, $\overline{A}$ — пересечение замкнутых множеств, оно замкнуто, и если $\overline{A} = A$ , то $A$ замкнуто.

Четвёртое описание показывает, что замыкание и внутренность — одно понятие с двух сторон:

X \setminus \overline{A} = \operatorname{Int}(X \setminus A).

А пятое объясняет, почему замыкание так часто встречается в доказательствах. Если нужно, чтобы множество было замкнутым, его заменяют на замыкание: это самое маленькое замкнутое множество, которое можно взять, и все свойства, сохраняющиеся при переходе к пределу, на него переносятся. А на практике замыкание обычно считают по первому или второму описанию: добавляют к $A$ предельные или граничные точки.

Примеры на прямой:

$\overline{(0, 1)} = [0, 1]$ : к интервалу добавились две предельные точки;
$\overline{\mathbb{Q}} = \mathbb{R}$ : любое число — предельная точка рациональных;
$\overline{\{1/n : n \in \mathbb{N}\}} = \{1/n : n \in \mathbb{N}\} \cup \{0\}$ ;
$\overline{\mathbb{Z}} = \mathbb{Z}$ : предельных точек нет, добавлять нечего.

Пример из анализа поинтереснее: график функции $\sin(1/x)$ на $(0, 1]$ . Около нуля он колеблется всё быстрее и подходит сколь угодно близко к каждой точке вертикального отрезка от $(0, -1)$ до $(0, 1)$ . Поэтому замыкание графика — это сам график вместе с этим отрезком.

Почему добавляется именно отрезок

Возьмём $y \in [-1, 1]$ и числа $t_k = \arcsin y + 2\pi k$ , где $k = 1, 2, \ldots$ Тогда точки $(1/t_k,\, \sin t_k) = (1/t_k,\, y)$ лежат на графике и сходятся к $(0, y)$ . Значит, весь отрезок лежит в замыкании.

Других новых точек нет. Точки с $x < 0$ , с $x > 1$ или с $|y| > 1$ окружены кругом, который график не задевает. Остаётся точка $(x, y)$ с $0 < x \le 1$ , не лежащая на графике, то есть $y \ne \sin(1/x)$ . Функция непрерывна в $x$ , поэтому рядом с $x$ её значения близки к $\sin(1/x)$ , а не к $y$ , и маленький круг вокруг $(x, y)$ график не задевает.

Задача. У каких множеств замыкание равно $[0, 1]$ ?

$(0, 1)$
$\mathbb{Q} \cap [0, 1]$
$\{1/n : n \in \mathbb{N}\}$
$(0, 1/2) \cup (1/2, 1)$
$(0, 1) \cup \{2\}$

Разбор

У $(0, 1)$ к замыканию добавляются концы. Рациональные числа отрезка подходят сколь угодно близко к любой его точке. У $(0, 1/2) \cup (1/2, 1)$ дырка в $1/2$ заклеивается. А у $\{1/n\}$ замыкание — эти точки и $0$ , никаких промежутков там нет. Наконец, точка $2$ уже замкнута сама по себе и остаётся в замыкании: получится $[0, 1] \cup \{2\}$ .

Граница и плотность

Граничные точки мы уже определили. Их удобно описать через замыкание: граничная точка прикасается и к $A$ , и к дополнению, но не является внутренней точкой $A$ . Поэтому

\partial A = \overline{A} \setminus \operatorname{Int} A = \overline{A} \cap \overline{X \setminus A}.

Отсюда видно, что граница симметрична, $\partial A = \partial (X \setminus A)$ , и замкнута как пересечение двух замкнутых множеств.

Граница не обязана быть «тонкой линией». Самый яркий пример — рациональные числа: $\overline{\mathbb{Q}} = \mathbb{R}$ и $\operatorname{Int} \mathbb{Q} = \varnothing$ , поэтому

\partial \mathbb{Q} = \mathbb{R}.

Любая точка прямой граничная для $\mathbb{Q}$ : в любом её интервале есть и рациональные, и иррациональные числа.

Свойство $\overline{\mathbb{Q}} = \mathbb{R}$ встречается так часто, что у него есть своё имя.

Определение (плотное множество).

Множество $A$ плотно в $X$ , если $\overline{A} = X$ . Это то же самое, что $A$ пересекается с любым непустым открытым множеством.

Плотны в $\mathbb{R}$ рациональные числа и иррациональные числа. В $\mathbb{R}^n$ плотны точки с рациональными координатами: мы пользовались этим в прошлом уроке, когда строили счётную базу.

Ещё один пример — теорема Вейерштрасса о приближении: любую непрерывную функцию на отрезке $[a, b]$ можно сколь угодно точно равномерно приблизить многочленом. То есть для любой непрерывной $f$ и любого $\varepsilon > 0$ найдётся многочлен $P$ , для которого $|f(x) - P(x)| < \varepsilon$ при всех $x \in [a, b]$ . На языке этого урока: многочлены плотны в пространстве непрерывных функций на отрезке с метрикой $\rho(f, g) = \max |f(x) - g(x)|$ из урока «Зоопарк метрик» (1.4). Шар радиуса $\varepsilon$ вокруг $f$ — это все функции, график которых лежит в полоске ширины $\varepsilon$ вокруг графика $f$ , и в каждой такой полоске есть многочлен.

Задача. Какие равенства верны на прямой?

$\partial \mathbb{Q} = \mathbb{R}$
$\partial\, [0, 1) = \{0, 1\}$
$\partial \mathbb{Z} = \varnothing$
$\partial \{1/n : n \in \mathbb{N}\} = \{1/n : n \in \mathbb{N}\}$
$\partial (\mathbb{R} \setminus \{0\}) = \{0\}$

Разбор

Внутренность $\mathbb{Z}$ пуста, а замыкание — само $\mathbb{Z}$ , поэтому $\partial \mathbb{Z} = \mathbb{Z}$ . С $\{1/n\}$ так же, но замыкание ещё содержит $0$ , так что граница — точки $1/n$ и $0$ . Остальные три равенства верны: граница $[0, 1)$ — концы, а граница $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ — выколотая точка, как на картинке.

Внутренность и замыкание хорошо дружат с одними операциями и плохо с другими.

Задача. Какие равенства верны для любых подмножеств $A$ и $B$ топологического пространства?

$\overline{A \cup B} = \overline{A} \cup \overline{B}$
$\overline{A \cap B} = \overline{A} \cap \overline{B}$
$\operatorname{Int}(A \cap B) = \operatorname{Int} A \cap \operatorname{Int} B$
$\operatorname{Int}(A \cup B) = \operatorname{Int} A \cup \operatorname{Int} B$

Разбор

Контрпример для обоих неверных равенств один: $A = \mathbb{Q}$ , $B = \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ . Пересечение пустое, и его замыкание пустое, а $\overline{A} \cap \overline{B} = \mathbb{R}$ . Объединение — вся прямая, и его внутренность — вся прямая, а $\operatorname{Int} A \cup \operatorname{Int} B = \varnothing$ .

Первое равенство верно. Множество $\overline{A} \cup \overline{B}$ замкнуто как объединение двух замкнутых и содержит $A \cup B$ , поэтому содержит и $\overline{A \cup B}$ . Обратно, $\overline{A} \subset \overline{A \cup B}$ , потому что замыкание большего множества больше, и так же для $B$ . Третье равенство получается из первого переходом к дополнениям.

Замыкание и последовательности

В анализе замкнутость часто определяют ещё и через последовательности: множество замкнуто, если вместе с любой сходящейся последовательностью оно содержит и её предел. В метрических пространствах это ещё одно равносильное определение, а замыкание — ещё одно описание через пределы.

Теорема (замыкание через последовательности).

Пусть $X$ — метрическое пространство и $A \subset X$ . Точка $x$ лежит в $\overline{A}$ тогда и только тогда, когда есть последовательность точек $a_n \in A$ , сходящаяся к $x$ .

Поэтому $A$ замкнуто тогда и только тогда, когда пределы всех сходящихся последовательностей из $A$ лежат в $A$ .

Схема доказательства

Если $a_n \to x$ , то в любой окрестности $x$ лежат члены последовательности, а это точки $A$ . Обратно, шары $B(x, 1/n)$ задевают $A$ ; выберем в каждом по точке $a_n$ , и они сходятся к $x$ .

Доказательство

Пусть $a_n \in A$ и $a_n \to x$ . Любая окрестность $x$ содержит все $a_n$ с некоторого номера, в частности пересекается с $A$ . Значит, $x \in \overline{A}$ .

Обратно, пусть $x \in \overline{A}$ . Шар $B(x, 1/n)$ — окрестность $x$ , поэтому в нём есть точка $a_n \in A$ . Тогда $\rho(a_n, x) < 1/n \to 0$ , то есть $a_n \to x$ .

Второе утверждение следует из первого и того, что $A$ замкнуто ровно тогда, когда $\overline{A} = A$ .

Обратите внимание, где использовалась метрика. Первая половина доказательства верна в любом топологическом пространстве. А во второй мы взяли шары $B(x, 1/n)$ : счётный набор окрестностей, которые сжимаются к $x$ . В общем пространстве такого набора может не быть, и тогда последовательностей не хватает, чтобы описать замыкание. Это тема урока «Когда последовательностей не хватает» (2.5).

С предельными точками так же. В метрическом пространстве $x$ — предельная точка $A$ ровно тогда, когда к ней сходится последовательность попарно различных точек $A$ . Доказательство то же, только каждую следующую точку надо выбирать в шаре, радиус которого меньше расстояния от $x$ до предыдущей точки. Тогда точки получатся разными.

Частичные пределы

С последовательностями связан красивый факт из анализа. Частичный предел последовательности — это предел какой-нибудь её подпоследовательности.

Теорема (множество частичных пределов замкнуто).

В метрическом пространстве множество частичных пределов любой последовательности замкнуто.

Доказательство

Пусть $P$ — множество частичных пределов $(x_n)$ и $p \in \overline{P}$ . Выберем частичные пределы $p_k$ с $\rho(p_k, p) < 1/k$ . Построим подпоследовательность, сходящуюся к $p$ . Если номер $n_{k-1}$ уже выбран, то, поскольку $p_k$ — частичный предел, найдётся номер $n_k > n_{k-1}$ с $\rho(x_{n_k}, p_k) < 1/k$ . Тогда

\rho(x_{n_k}, p) \le \rho(x_{n_k}, p_k) + \rho(p_k, p) < 2/k \to 0.

Значит, $p$ — частичный предел, и $\overline{P} = P$ .

Например, частичные пределы последовательности $\sin n$ заполняют весь отрезок $[-1, 1]$ . Это следует из иррациональности $\pi$ : остатки чисел $n$ при делении на $2\pi$ плотны в $[0, 2\pi]$ . А если выписать все рациональные числа в последовательность, её частичными пределами окажется вся прямая.

Задача. Какие множества могут быть множеством частичных пределов последовательности действительных чисел?

Разбор

$\{0, 1\}$ даёт последовательность $0, 1, 0, 1, \ldots$ , а $[0, 1]$ — последовательность всех рациональных чисел отрезка. Для $\mathbb{Z}$ выпишем сначала $0$ , потом $-1, 0, 1$ , потом $-2, -1, 0, 1, 2$ и так далее: каждое целое число встретится бесконечно много раз. Сходящаяся подпоследовательность целых чисел с какого-то места постоянна, так что других частичных пределов нет.

А $(0, 1)$ и $\{1/n\}$ не замкнуты, поэтому по теореме не могут быть множествами частичных пределов. Например, если все $1/n$ — частичные пределы, то и $0$ тоже.

В других топологиях

Определения внутренности, замыкания и границы не использовали метрику, так что их можно посчитать в любом пространстве из прошлых уроков. Результаты бывают неожиданными.

Прямая Зоргенфрея. $\overline{(0, 1)} = [0, 1)$ . Точка $0$ — точка прикосновения: любая окрестность $[0, \varepsilon)$ задевает $(0, 1)$ . А точка $1$ — нет: окрестность $[1, 2)$ интервала не задевает. Похожим образом $\operatorname{Int}\,[0, 1] = [0, 1)$ .
Дискретная топология. Любое множество и открыто, и замкнуто, поэтому $\operatorname{Int} A = \overline{A} = A$ , а граница всегда пуста.
Антидискретная топология. Единственная окрестность любой точки — всё $X$ . Поэтому замыкание любого непустого множества — всё $X$ , а внутренность любого множества, кроме $X$ , пуста.
Топология конечных дополнений на бесконечном $X$ . Замкнуты только конечные множества и само $X$ . Поэтому замыкание конечного множества — оно само, а замыкание бесконечного — всё $X$ .

Видно общее правило: чем сильнее топология, тем меньше замыкания. В дискретной топологии замыкание ничего не добавляет, а в антидискретной добавляет всё.

Задача. Какие утверждения верны?

На прямой Зоргенфрея $\overline{(0, 1)} = [0, 1)$
На прямой Зоргенфрея $\overline{(0, 1)} = [0, 1]$
В топологии конечных дополнений на $\mathbb{R}$ множество $\mathbb{Z}$ плотно
В дискретной топологии на $\mathbb{R}$ множество $\mathbb{Q}$ плотно
В антидискретной топологии плотно любое непустое множество

Разбор

Про прямую Зоргенфрея всё разобрано выше: правый конец $1$ не точка прикосновения. Целых чисел бесконечно много, поэтому в топологии конечных дополнений их замыкание — вся прямая. В дискретной топологии $\mathbb{Q}$ замкнуто и совпадает со своим замыканием, так что не плотно. В антидискретной замыкание любого непустого множества — всё пространство.

Что получилось

Внутренняя точка лежит в $A$ вместе с окрестностью. Старое определение открытости стало теоремой: открыто то, у чего все точки внутренние. Внутренность — наибольшее открытое множество внутри $A$ .
Точки прикосновения, предельные и граничные для точек вне $A$ означают одно и то же. Поэтому замкнутость можно определять через любые из них: замкнутое множество содержит все свои точки прикосновения, все предельные точки и свою границу.
Замыкание тоже описывается многими способами: $\overline{A} = A \cup A' = A \cup \partial A$ , это наименьшее замкнутое множество, содержащее $A$ , и $X \setminus \overline{A} = \operatorname{Int}(X \setminus A)$ .
Граница — замыкание без внутренности. Она бывает толстой: $\partial \mathbb{Q} = \mathbb{R}$ . Множества с $\overline{A} = X$ называются плотными.
В метрических пространствах к этому списку добавляются последовательности: замыкание — это пределы последовательностей из $A$ , а множество частичных пределов любой последовательности замкнуто. В общих пространствах последовательностей может не хватить, к этому мы вернёмся в уроке «Когда последовательностей не хватает» (2.5).
В других топологиях замыкания бывают неожиданными: чем сильнее топология, тем они меньше.

В следующем уроке посмотрим, как через замыкание и подпространства переформулируется непрерывность.