Произведения · Введение в топологию

Плоскость состоит из пар чисел: $\mathbb{R}^2 = \mathbb{R} \times \mathbb{R}$ . Её топологию мы до сих пор получали из метрики, но устроена она проще: точка $(x, y)$ близка к $(a, b)$ , когда $x$ близко к $a$ и $y$ близко к $b$ . Никакого расстояния для этого не нужно, достаточно знать, что значит «близко» на каждой из двух прямых.

Так же из пар собираются многие пространства, которые хочется изучать.

Цилиндр — это пары (точка окружности, число), то есть $S^1 \times \mathbb{R}$ или $S^1 \times [0, 1]$ .
Тор, поверхность бублика, — это пары точек окружности, $S^1 \times S^1$ : одна координата говорит, где мы на большом круге, другая — где на маленьком.
Квадрат $[0, 1] \times [0, 1]$ и куб $[0, 1]^3$ .
Пространство конфигураций: положение двух точек на окружности — это точка $S^1 \times S^1$ (то есть, тоже тор).

Здесь у сомножителей своя топология, а метрики может не быть вовсе. В этом уроке мы научимся по топологиям на $X$ и $Y$ строить топологию на $X \times Y$ . Это первый из двух способов строить новые пространства из старых, второй — склейки — будет в уроке «Фактор-пространства» (3.6).

Обозначения на весь урок. $X \times Y$ — множество пар $(x, y)$ с $x \in X$ , $y \in Y$ . Отображения

\pi_X(x, y) = x, \qquad \pi_Y(x, y) = y

называются проекциями. Множество вида $U \times V$ , где $U \subset X$ и $V \subset Y$ , будем называть прямоугольником, даже если $X$ и $Y$ совсем не прямые.

Прямоугольники

Как устроены открытые множества плоскости? Возьмём открытый круг $W$ и точку $p$ в нём. Вокруг $p$ внутри круга помещается маленький квадрат, а квадрат — это прямоугольник $U \times V$ из двух интервалов. Значит, круг — объединение таких прямоугольников.

Это и есть определение: открытые прямоугольники объявляются базой.

Определение (топология произведения).

Пусть $X$ и $Y$ — топологические пространства. Топология произведения на $X \times Y$ — это топология с базой из всех прямоугольников $U \times V$ , где $U$ открыто в $X$ , а $V$ открыто в $Y$ .

Нужно проверить, что такая топология вообще существует. По теореме из урока про базу топологии (2.1) семейство задаёт топологию, если оно покрывает всё множество и вокруг каждой точки пересечения двух его элементов помещается третий. Первое верно: $X \times Y$ — сам прямоугольник. А второе выполнено с запасом: пересечение двух прямоугольников — снова прямоугольник,

(U_1 \times V_1) \cap (U_2 \times V_2) = (U_1 \cap U_2) \times (V_1 \cap V_2).

Значит, открытое множество в $X \times Y$ — это объединение прямоугольников. Сами прямоугольники при этом составляют малую часть открытых множеств: круг открыт, но прямоугольником не является.

Задача. Какие множества открыты в $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ с топологией произведения?

Открытый круг $x^2 + y^2 < 1$
$(0, 1) \times [0, 1]$
Ось $\mathbb{R} \times \{0\}$
Область над параболой $y > x^2$
Плоскость без начала координат
$\mathbb{Q} \times \mathbb{R}$

Разбор

Круг — объединение квадратов, как в интерактиве. Над параболой точно так же: вокруг каждой точки $(a, b)$ с $b > a^2$ помещается маленький квадрат, потому что $y - x^2$ непрерывна и в точке положительна. Плоскость без нуля — объединение четырёх полуплоскостей $x > 0$ , $x < 0$ , $y > 0$ , $y < 0$ , а каждая полуплоскость — прямоугольник, например $(0, +\infty) \times \mathbb{R}$ .

В $(0, 1) \times [0, 1]$ у точки $(1/2, 0)$ нет прямоугольника внутри: любой интервал вокруг $0$ задевает отрицательные числа. Ось и $\mathbb{Q} \times \mathbb{R}$ не содержат ни одного прямоугольника $U \times V$ с непустыми интервалами $U$ и $V$ , поэтому тоже не открыты.

Произведение конечного числа пространств $X_1 \times \dots \times X_n$ определяется так же: база — «параллелепипеды» $U_1 \times \dots \times U_n$ из открытых множеств. Всё, что будет в уроке, переносится на $n$ сомножителей дословно, поэтому дальше пишем про два. С бесконечным числом сомножителей так делать нельзя, об этом в конце урока.

ℝ × ℝ — это ℝ²

Теперь у плоскости две топологии: из евклидовой метрики и из произведения. Хорошо бы они совпадали, иначе определение было бы странным. Так и есть, и даже в большей общности.

Утверждение (произведение метрических пространств).

Пусть $(X, \rho)$ и $(Y, \sigma)$ — метрические пространства. Метрика

d\big((x, y), (x', y')\big) = \max\big(\rho(x, x'), \sigma(y, y')\big)

задаёт на $X \times Y$ топологию произведения.

Схема доказательства

Шар метрики $d$ — это прямоугольник из двух шаров: $B_d((x, y), r) = B_\rho(x, r) \times B_\sigma(y, r)$ . Значит, шары $d$ открыты в произведении. А в любой прямоугольник вокруг точки помещается такой шар: достаточно взять $r$ меньше радиусов обоих шаров.

Доказательство

То, что $d$ — метрика, проверяется как для метрики $\rho_\infty$ из урока «Зоопарк метрик» (1.4): неравенство треугольника выполняется для каждой координаты, а значит, и для максимума.

Расстояние $d$ меньше $r$ ровно тогда, когда меньше $r$ оба расстояния, поэтому

B_d\big((x, y), r\big) = B_\rho(x, r) \times B_\sigma(y, r).

Сравним базы по критерию из урока про базу топологии (2.1). Шар $d$ — открытый прямоугольник, так что каждый шар вокруг точки сам является элементом базы произведения. Обратно, пусть $(x, y) \in U \times V$ , где $U$ и $V$ открыты. Найдутся $r_1$ и $r_2$ с $B_\rho(x, r_1) \subset U$ и $B_\sigma(y, r_2) \subset V$ . При $r = \min(r_1, r_2)$ получаем

B_d\big((x, y), r\big) = B_\rho(x, r) \times B_\sigma(y, r) \subset U \times V.

Значит, топологии совпадают.

Для $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ получается метрика $\max(|x - x'|, |y - y'|)$ , то есть $\rho_\infty$ . Её шары — квадраты. А в уроке «Зоопарк метрик» (1.4) мы проверили, что $\rho_\infty$ и евклидова метрика задают одну топологию. Значит, $\mathbb{R} \times \mathbb{R} = \mathbb{R}^2$ и как топологические пространства, а по индукции $\mathbb{R}^n = \mathbb{R} \times \dots \times \mathbb{R}$ .

Проекции и предбаза

Проекции непрерывны: прообраз открытого $U \subset X$ при $\pi_X$ — это полоса $U \times Y$ , и она открыта, ведь это прямоугольник. А любой прямоугольник — пересечение двух полос:

U \times V = (U \times Y) \cap (X \times V) = \pi_X^{-1}(U) \cap \pi_Y^{-1}(V).

Отсюда получается другое описание топологии произведения. Если в какой-то топологии на $X \times Y$ обе проекции непрерывны, то в ней открыты все полосы, а значит, и все прямоугольники, и их объединения. Итак:

Утверждение (самая слабая топология с непрерывными проекциями).

Топология произведения — самая слабая топология на $X \times Y$ , в которой непрерывны обе проекции.

Полосы — не база: из полос объединениями круг не собрать. Но из них собирается база, если сначала разрешить конечные пересечения. Такие семейства встречаются часто, и у них есть имя.

Определение (предбаза).

Семейство $\mathcal{S}$ открытых множеств называется предбазой топологии $\tau$ , если конечные пересечения элементов $\mathcal{S}$ образуют базу $\tau$ .

Полосы — предбаза топологии произведения. Другой пример: лучи $(a, +\infty)$ и $(-\infty, b)$ — предбаза обычной топологии прямой, потому что их пересечения дают интервалы $(a, +\infty) \cap (-\infty, b) = (a, b)$ . В уроке про базу топологии (2.1) лучи не прошли в базу, а в предбазу проходят.

С базой было не так: не всякое семейство — база какой-нибудь топологии, требовалось условие на пересечения. А предбазой может быть что угодно.

Теорема (любое семейство — предбаза).

Пусть $\mathcal{S}$ — любое семейство подмножеств $X$ . Тогда существует единственная топология, для которой $\mathcal{S}$ — предбаза. Это самая слабая топология, в которой все элементы $\mathcal{S}$ открыты.

Доказательство

Пусть $\mathcal{B}$ — семейство всех конечных пересечений $S_1 \cap \dots \cap S_n$ элементов $\mathcal{S}$ . Пересечение пустого набора считаем равным $X$ , так что $X \in \mathcal{B}$ . Проверим условия теоремы из урока про базу топологии (2.1). Семейство $\mathcal{B}$ покрывает $X$ , потому что содержит $X$ . Пересечение двух конечных пересечений — снова конечное пересечение, то есть элемент $\mathcal{B}$ . Значит, $\mathcal{B}$ — база некоторой топологии $\tau$ , и $\mathcal{S}$ — её предбаза.

Если в какой-то топологии открыты все элементы $\mathcal{S}$ , то открыты и их конечные пересечения, и объединения этих пересечений, то есть всё из $\tau$ . Значит, $\tau$ — самая слабая такая топология. Единственность: топология с предбазой $\mathcal{S}$ имеет базу $\mathcal{B}$ , а топология однозначно определяется базой.

Задача. Какие семейства — предбазы обычной топологии на прямой?

Лучи $(a, +\infty)$ и $(-\infty, b)$ с рациональными $a$ и $b$
Только лучи $(a, +\infty)$
Интервалы длины ровно $1$
Лучи $[a, +\infty)$ и $(-\infty, b)$

Разбор

Рациональные лучи дают в пересечениях интервалы с рациональными концами, а это база.

Лучей $(a, +\infty)$ мало: их конечные пересечения — снова такие лучи, и ни один не лежит в $(0, 1)$ . Они порождают другую, более слабую топологию.

Интервалы длины $1$ в базу не годились, а в предбазу годятся: пересечение $(a, a + 1) \cap (b - 1, b)$ при $b - 1 < a < b < a + 1$ равно $(a, b)$ , и так получается любой интервал короче $1$ . А короткие интервалы — база.

Лучи $[a, +\infty)$ и $(-\infty, b)$ в пересечениях дают полуинтервалы $[a, b)$ . Это предбаза прямой Зоргенфрея, а не обычной прямой.

Вот зачем предбаза нужна на практике. Проверять непрерывность достаточно на ней.

Утверждение (непрерывность через предбазу).

Пусть $\mathcal{S}$ — предбаза топологии на $Y$ . Отображение $f\colon Z \to Y$ непрерывно тогда и только тогда, когда прообраз каждого элемента $\mathcal{S}$ открыт.

Доказательство

Прообраз пересечения — пересечение прообразов: $f^{-1}(S_1 \cap \dots \cap S_n) = f^{-1}(S_1) \cap \dots \cap f^{-1}(S_n)$ . Если прообразы элементов $\mathcal{S}$ открыты, то открыты и прообразы их конечных пересечений, то есть элементов базы. По утверждению из урока про базу топологии (2.1) этого достаточно для непрерывности. Обратное очевидно: элементы предбазы открыты.

Например, функция $f\colon Z \to \mathbb{R}$ непрерывна, если открыты множества $\{f > a\}$ и $\{f < b\}$ : это прообразы лучей.

Непрерывность в произведение

Теперь главное свойство произведения. Отображение $f\colon Z \to X \times Y$ — это пара отображений, его координат: $f(z) = (f_1(z), f_2(z))$ , где $f_1 = \pi_X \circ f$ и $f_2 = \pi_Y \circ f$ .

Теорема (покоординатная непрерывность).

Отображение $f = (f_1, f_2)\colon Z \to X \times Y$ непрерывно тогда и только тогда, когда непрерывны обе координаты $f_1$ и $f_2$ .

Доказательство

Если $f$ непрерывно, то $f_1 = \pi_X \circ f$ и $f_2 = \pi_Y \circ f$ непрерывны как композиции непрерывных.

Обратно, проверим прообразы полос, это предбаза. Точка $z$ попадает в $U \times Y$ ровно тогда, когда $f_1(z) \in U$ , поэтому

f^{-1}(U \times Y) = f_1^{-1}(U), \qquad f^{-1}(X \times V) = f_2^{-1}(V).

Оба множества открыты, значит, $f$ непрерывно.

В анализе эту теорему используют постоянно, не называя. Кривая $t \mapsto (\cos t, \sin t)$ непрерывна, потому что непрерывны косинус и синус. Сумма непрерывных функций $f + g$ — это композиция $z \mapsto (f(z), g(z))$ и сложения $\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ , и обе непрерывны.

Для последовательностей всё то же самое.

Утверждение (покоординатная сходимость).

$(x_n, y_n) \to (x, y)$ в $X \times Y$ тогда и только тогда, когда $x_n \to x$ в $X$ и $y_n \to y$ в $Y$ .

Доказательство

Если $(x_n, y_n) \to (x, y)$ , то $x_n = \pi_X(x_n, y_n) \to \pi_X(x, y) = x$ , потому что непрерывные отображения сохраняют пределы (урок про сходимость в топологических пространствах, 2.5). Так же для $y_n$ .

Обратно, достаточно проверять окрестности из базы, то есть прямоугольники $U \times V \ni (x, y)$ . Начиная с номера $N_1$ все $x_n$ лежат в $U$ , начиная с $N_2$ все $y_n$ лежат в $V$ . Тогда при $n \ge \max(N_1, N_2)$ все $(x_n, y_n)$ лежат в $U \times V$ .

Задача. Какие последовательности сходятся?

$(1/n, (-1)^n)$ в $\mathbb{R}^2$
$(n/(n + 1), 2^{-n})$ в $\mathbb{R}^2$
$(1/n, -1/n)$ к $(0, 0)$ в $\mathbb{R} \times \mathbb{R}_S$
$(-1/n, 1/n)$ к $(0, 0)$ в $\mathbb{R} \times \mathbb{R}_S$

Разбор

Проверяем каждую координату отдельно. У $(1/n, (-1)^n)$ вторая координата не сходится. Последовательность $(n/(n + 1), 2^{-n})$ сходится к $(1, 0)$ .

В $\mathbb{R} \times \mathbb{R}_S$ вторая координата живёт на прямой Зоргенфрея, где, как мы видели в уроке про базу топологии (2.1), сходиться можно только справа. Поэтому $-1/n$ во второй координате к нулю не сходится, а $1/n$ сходится. Первая координата на обычной прямой может подходить с любой стороны.

Важно не перепутать: теорема говорит про отображения в произведение. Для функций из произведения непрерывности по каждой переменной отдельно мало. Классический пример из анализа:

f(x, y) = \frac{xy}{x^2 + y^2}, \qquad f(0, 0) = 0.

На каждой горизонтальной и каждой вертикальной прямой она непрерывна, на осях она просто равна нулю. Но на диагонали $f(t, t) = 1/2$ при $t \ne 0$ , так что в нуле разрыв. Топология произведения отвечает за совместную непрерывность, а не за непрерывность по каждой переменной.

Цилиндр и тор

Покоординатный критерий позволяет быстро строить гомеоморфизмы. Если $f\colon X \to X'$ и $g\colon Y \to Y'$ — гомеоморфизмы, то $(x, y) \mapsto (f(x), g(y))$ — гомеоморфизм $X \times Y \to X' \times Y'$ : он непрерывен покоординатно, и обратное к нему $(f^{-1}, g^{-1})$ тоже. Например, интервал гомеоморфен прямой (урок про гомеоморфизм, 2.4), поэтому открытый квадрат $(0, 1) \times (0, 1)$ гомеоморфен плоскости.

Вот пример поинтереснее.

Утверждение (плоскость без точки — это цилиндр).

$\mathbb{R}^2 \setminus \{0\}$ гомеоморфна $S^1 \times (0, +\infty)$ , а значит, и $S^1 \times \mathbb{R}$ .

Доказательство

Это полярные координаты. Отображение $z \mapsto (z / |z|, |z|)$ из $\mathbb{R}^2 \setminus \{0\}$ в $S^1 \times (0, +\infty)$ непрерывно, потому что непрерывны обе координаты. Обратное $(u, r) \mapsto r u$ тоже непрерывно: его координаты $r u_1$ и $r u_2$ — произведения непрерывных функций. Наконец, $(0, +\infty)$ гомеоморфен $\mathbb{R}$ через логарифм.

Окружности $|z| = r$ на плоскости — это слои $S^1 \times \{r\}$ цилиндра. Если бесконечно длинный цилиндр сжать к одному концу, он превратится в плоскость с выколотой точкой.

Тор $S^1 \times S^1$ тоже можно поставить в пространство. Пусть $0 < r < R$ . Отображение

\big((\cos a, \sin a), (\cos b, \sin b)\big) \mapsto \big((R + r\cos b)\cos a,\ (R + r\cos b)\sin a,\ r\sin b\big)

переводит пару углов в точку поверхности бублика: $a$ — угол на большом круге, $b$ — на маленьком. Оно корректно определено, ведь формула зависит только от точек окружности, и непрерывно покоординатно.

Это отображение — биекция на поверхность бублика. Чтобы оно было гомеоморфизмом, нужна ещё непрерывность обратного, а проверять её руками неприятно. В уроке про гомеоморфизм (2.4) мы видели, что непрерывной биекции бывает мало. В уроках про компактность мы увидим, что здесь непрерывность обратного получается бесплатно.

Что наследуют произведения

Посмотрим, как свойства сомножителей переходят на произведение.

Проекции открыты, но не замкнуты. Образ прямоугольника $U \times V$ при $\pi_X$ — это $U$ (если $V$ не пусто), а образ объединения — объединение образов. Поэтому $\pi_X$ переводит открытые множества в открытые. С замкнутыми так не выйдет, и пример мы уже видели в уроке про непрерывность и подпространства (2.3): гипербола $xy = 1$ замкнута в $\mathbb{R}^2$ , а её проекция на ось — $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ , и это множество не замкнуто.

Замыкание прямоугольника — прямоугольник из замыканий.

Утверждение (замыкание произведения).

Для любых $A \subset X$ и $B \subset Y$

\overline{A \times B} = \overline{A} \times \overline{B}.

В частности, произведение замкнутых множеств замкнуто.

Доказательство

Точка лежит в замыкании, когда каждая её окрестность задевает множество (урок про замыкание и внутренность, 2.2). Достаточно проверять окрестности из базы: любая окрестность содержит элемент базы вокруг точки, и если он задевает множество, то и она задевает. Прямоугольник $U \times V$ задевает $A \times B$ ровно тогда, когда $U$ задевает $A$ и $V$ задевает $B$ . Значит, $(x, y) \in \overline{A \times B}$ тогда и только тогда, когда каждая окрестность $x$ задевает $A$ и каждая окрестность $y$ задевает $B$ , то есть $x \in \overline{A}$ и $y \in \overline{B}$ .

Например, замкнутый квадрат $[0, 1]^2$ — замыкание открытого, а $\mathbb{Q} \times \mathbb{Q}$ плотно в $\mathbb{R}^2$ , потому что $\overline{\mathbb{Q}} \times \overline{\mathbb{Q}} = \mathbb{R}^2$ .

Хаусдорфовость.

Утверждение (произведение хаусдорфовых).

Если $X$ и $Y$ хаусдорфовы, то $X \times Y$ хаусдорфово.

Доказательство

Пусть $(x_1, y_1) \ne (x_2, y_2)$ . Тогда различаются первые координаты или вторые, пусть $x_1 \ne x_2$ . В $X$ есть непересекающиеся окрестности $U_1 \ni x_1$ и $U_2 \ni x_2$ . Полосы $U_1 \times Y$ и $U_2 \times Y$ открыты, содержат наши точки и не пересекаются.

Хаусдорфовость можно увидеть и внутри самого $X \times X$ . Диагональю называется множество

\Delta = \{(x, x) : x \in X\} \subset X \times X.

Теорема (замкнутая диагональ).

Пространство $X$ хаусдорфово тогда и только тогда, когда диагональ $\Delta$ замкнута в $X \times X$ .

Схема доказательства

Точка $(x, y)$ вне диагонали — это пара различных точек. Прямоугольник $U \times V$ вокруг неё не задевает диагональ ровно тогда, когда в $U$ и $V$ нет общих точек. Так что «у каждой точки вне $\Delta$ есть окрестность вне $\Delta$ » — это и есть определение хаусдорфовости.

Доказательство

Множество $\Delta$ замкнуто, когда его дополнение открыто, то есть когда у каждой точки $(x, y) \notin \Delta$ есть окрестность из базы $U \times V$ , не задевающая $\Delta$ . Точка $(z, z)$ лежит в $U \times V$ ровно тогда, когда $z \in U \cap V$ . Поэтому $U \times V$ не задевает $\Delta$ тогда и только тогда, когда $U \cap V = \varnothing$ .

Значит, замкнутость $\Delta$ означает: для любых $x \ne y$ есть окрестности $U \ni x$ и $V \ni y$ без общих точек. Это определение хаусдорфовости.

Отсюда сразу несколько полезных следствий. Пусть $Y$ хаусдорфово, а $f, g\colon X \to Y$ непрерывны.

Множество совпадения $\{x : f(x) = g(x)\}$ замкнуто. Это прообраз диагонали при непрерывном отображении $x \mapsto (f(x), g(x))$ .
Если $f$ и $g$ совпадают на плотном множестве, то они совпадают везде. Множество совпадения замкнуто и содержит плотное множество, значит, это всё $X$ . Например, непрерывная функция на прямой определяется своими значениями в рациональных точках.
График $\{(x, f(x))\}$ замкнут в $X \times Y$ . Это прообраз диагонали при непрерывном отображении $(x, y) \mapsto (f(x), y)$ .

Задача. Какие утверждения верны?

Если $A$ замкнуто в $X$ , а $B$ замкнуто в $Y$ , то $A \times B$ замкнуто в $X \times Y$
Проекция замкнутого множества замкнута
График непрерывной функции $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ замкнут в $\mathbb{R}^2$
Если график функции $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ замкнут, то $f$ непрерывна
Если $Y$ не хаусдорфово, множество совпадения двух непрерывных отображений $X \to Y$ может быть не замкнуто

Разбор

Первое — следствие формулы для замыкания. Второе опровергает гипербола. Третье — следствие про графики.

Четвёртое неверно: возьмём $f(x) = 1/x$ при $x \ne 0$ и $f(0) = 0$ . График — гипербола и точка $(0, 0)$ , обе части замкнуты, а функция разрывна в нуле.

Пятое верно. Пусть $Y = \{a, b\}$ с антидискретной топологией, $f$ — постоянное отображение в $a$ , а $g$ переводит $(-\infty, 0)$ в $a$ и остальное в $b$ . В антидискретное пространство любое отображение непрерывно. Множество совпадения — $(-\infty, 0)$ , оно не замкнуто.

В других топологиях

Произведение можно брать от любых пространств, и иногда получаются неожиданные вещи.

Произведение двух дискретных пространств дискретно: одноточие $\{(x, y)\} = \{x\} \times \{y\}$ — открытый прямоугольник. А вот плоскость Зоргенфрея $\mathbb{R}_S \times \mathbb{R}_S$ устроена интереснее. Её база — полуоткрытые квадраты $[a, b) \times [c, d)$ , и окрестности точки смотрят только вправо и вверх.

Задача. Какие множества открыты в плоскости Зоргенфрея $\mathbb{R}_S \times \mathbb{R}_S$ ?

$[0, 1) \times [0, 1)$
Полуплоскость $x + y > 0$
Замкнутая полуплоскость $x + y \ge 0$
Замкнутая полуплоскость $x - y \ge 0$

Разбор

Первое — элемент базы. Открытая полуплоскость открыта даже в обычной топологии, а плоскость Зоргенфрея сильнее обычной: её база содержит квадраты, из которых собирается любой обычный открытый прямоугольник.

Самое интересное — граничная прямая $x + y = 0$ . Вокруг её точки $(a, -a)$ возьмём квадрат $[a, a + \varepsilon) \times [-a, -a + \varepsilon)$ . В нём обе координаты только растут, так что $x + y \ge 0$ . Значит, $x + y \ge 0$ открыто. С прямой $x = y$ так не выйдет: квадрат $[a, a + \varepsilon) \times [a, a + \varepsilon)$ содержит точки и выше, и ниже неё.

Отсюда любопытное следствие. Антидиагональ $x + y = 0$ замкнута, а каждая её точка $(a, -a)$ — единственная точка антидиагонали в квадрате $[a, a + \varepsilon) \times [-a, -a + \varepsilon)$ . Получается замкнутое множество мощности континуум с дискретной индуцированной топологией. На обычной плоскости такого не бывает.

Осторожно: бесконечные произведения

Во всём уроке сомножителей было конечное число, и это важно. Для конечного числа сомножителей два описания топологии совпадают: база из открытых «параллелепипедов» и предбаза из полос. Для бесконечного числа они расходятся.

Возьмём счётную степень прямой $\mathbb{R}^\mathbb{N}$ , то есть все последовательности $(x_1, x_2, \dots)$ . Первое, что приходит в голову, — объявить базой все «бесконечные параллелепипеды» $U_1 \times U_2 \times \dots$ из открытых $U_k$ . Это ящичная топология. Но тогда ломается главное свойство из этого урока. Отображение $t \mapsto (t, t, t, \dots)$ из $\mathbb{R}$ в $\mathbb{R}^\mathbb{N}$ непрерывно покоординатно, но прообраз ящика

(-1, 1) \times (-\tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{2}) \times (-\tfrac{1}{3}, \tfrac{1}{3}) \times \dots

равен пересечению всех $(-1/k, 1/k)$ , то есть точке $\{0\}$ , а она не открыта. Так же ломается и покоординатная сходимость: последовательность $(1/n, 1/n, \dots)$ к нулю в ящичной топологии не сходится.

Правильное определение даёт предбаза. Топология произведения любого числа пространств — самая слабая топология, в которой непрерывны все проекции. Её предбаза — полосы $\pi_k^{-1}(U)$ , а база — конечные пересечения полос, то есть «параллелепипеды», у которых лишь конечное число сторон отлично от всего сомножителя. С этим определением покоординатная непрерывность и сходимость сохраняются, и доказательства дословно те же: в них использовалась только предбаза из полос. Для конечного числа сомножителей ящики и полосы дают одно и то же, поэтому в уроке разницы не было видно.

В этом курсе бесконечные произведения нам не понадобятся. Но если они где-то встретятся, по умолчанию имеется в виду именно топология с предбазой из полос.

Что получилось

Топология произведения задаётся базой из открытых прямоугольников $U \times V$ . Для метрических пространств её даёт метрика $\max(\rho, \sigma)$ , поэтому $\mathbb{R} \times \mathbb{R} = \mathbb{R}^2$ .
Предбаза — семейство, конечные пересечения которого дают базу. Предбазой может быть любое семейство, и непрерывность достаточно проверять на ней. У произведения предбаза — полосы, прообразы открытых множеств при проекциях.
Отображение в произведение непрерывно покоординатно, и сходимость тоже покоординатная. Для функций из произведения непрерывности по каждой переменной мало.
Наследуется: хаусдорфовость, замыкание $\overline{A \times B} = \overline{A} \times \overline{B}$ . Проекции открыты, но не замкнуты.
$X$ хаусдорфово ⇔ диагональ замкнута. Отсюда замкнутость графиков и множеств совпадения непрерывных отображений.
Для бесконечного числа сомножителей «бесконечные прямоугольники» дают неправильную топологию. Правильная задаётся предбазой из полос.
Плоскость без точки — цилиндр, а тор $S^1 \times S^1$ — бублик в $\mathbb{R}^3$ , если поверить, что обратное отображение непрерывно.

В следующих двух уроках появится компактность. Она объяснит, почему отрезок не гомеоморфен прямой, и докажет то, во что пришлось поверить про тор.