Какие пространства компактны · Введение в топологию

В прошлом уроке мы увидели, зачем нужна компактность: с ней бесконечное сводится к конечному, и теоремы вроде Вейерштрасса доказываются в несколько строк. Но компактов у нас пока мало: конечные множества, отрезок и непрерывные образы отрезка, например окружность. Компактен ли шар? Сфера? Канторово множество? Проверять определение руками, перебирая все покрытия, тяжело. Нужны удобные признаки.

Ещё за нами три долга:

В уроке про непрерывность и подпространства (2.3) мы обещали объяснить, почему образ отрезка при непрерывной функции замкнут.
В уроке про гомеоморфизм (2.4) непрерывная биекция $[0, 2\pi) \to S^1$ оказалась не гомеоморфизмом, и мы обещали случай, когда непрерывность обратного проверять не нужно. С этим же связан тор из урока про произведения (3.1): мы поверили, что $S^1 \times S^1$ гомеоморфен бублику.
В уроке про гомеоморфизм (2.4) осталось обещание про замыкание графика $\sin(1/x)$ : оно не гомеоморфно полуинтервалу.

К концу урока закроем все три. План такой: сначала посмотрим, как компактность дружит с замкнутостью, а потом найдём точный критерий компактности для метрических пространств.

Замкнутое в компакте

Первое наблюдение: если выбросить из компакта открытое множество, компактность сохранится.

Утверждение (замкнутое в компакте).

Замкнутое подмножество компактного пространства компактно.

Схема доказательства

Покрытие замкнутого $F$ дополним одним множеством $X \setminus F$ . Это открытое покрытие всего $X$ , выбираем в нём конечное подпокрытие, а лишнее $X \setminus F$ выбрасываем.

Доказательство

Пусть $F$ замкнуто в компактном $X$ , и $\{U_\alpha\}$ — открытые множества, покрывающие $F$ . Добавим к ним $X \setminus F$ , оно открыто. Получилось открытое покрытие всего $X$ , и из него можно выбрать конечное подпокрытие. Выбросим из него $X \setminus F$ , если оно туда попало. Оставшиеся $U_\alpha$ покрывают $F$ : точки $F$ не лежат в $X \setminus F$ .

Сразу появляется много компактов. Канторово множество, множество $\{0\} \cup \{1/n\}$ , любое замкнутое подмножество отрезка или окружности — все они компактны.

Задача. Какие подмножества отрезка $[0, 1]$ компактны?

Канторово множество
$\{0\} \cup [1/3, 1/2]$
$[0, 1] \setminus \{1/2\}$
$[0, 1] \cap \mathbb{Q}$
$\{x \in [0, 1] : \sin(1/x) = 0\} \cup \{0\}$

Разбор

Канторово множество — пересечение замкнутых множеств. Второе — объединение двух замкнутых. Пятое — это точки $1/(\pi n)$ вместе с нулём, они сходятся к нулю, и множество замкнуто.

Без точки $1/2$ отрезок не компактен: множества $\{x : |x - 1/2| > 1/n\}$ открыты и покрывают его, а конечное число из них не покрывает точки, близкие к $1/2$ . С рациональными точками то же самое, только вместо $1/2$ берём иррациональную точку, например $1/\sqrt2$ .

Компакт в хаусдорфовом

Обратное утверждение звучит естественно: компакт должен быть замкнут. На прямой и на плоскости так и есть, но в общих пространствах для этого нужна хаусдорфовость.

Утверждение (компакт в хаусдорфовом).

Компактное подмножество хаусдорфова пространства замкнуто.

Схема доказательства

Нужно отделить точку $x \notin K$ от $K$ окрестностью. Хаусдорфовость отделяет $x$ от каждой точки $K$ по отдельности. Компактность позволяет обойтись конечным числом точек, а пересечение конечного числа окрестностей $x$ — снова окрестность. Тут опять работает схема из прошлого урока: бесконечно много локальных фактов, конечный выбор, глобальный факт.

Доказательство

Пусть $K$ компактно и $x \notin K$ . Для каждой точки $k \in K$ найдутся непересекающиеся открытые $U_k \ni k$ и $V_k \ni x$ . Множества $U_k$ покрывают $K$ , выберем конечное подпокрытие $U_{k_1}, \dots, U_{k_n}$ . Тогда $V = V_{k_1} \cap \dots \cap V_{k_n}$ — открытая окрестность $x$ , и она не задевает ни одно $U_{k_i}$ , а значит, и $K$ . Итак, у каждой точки вне $K$ есть окрестность вне $K$ , и $X \setminus K$ открыто.

Без хаусдорфовости это неверно. Возьмём прямую с конечно-дополнительной топологией: открыты пустое множество и дополнения конечных множеств. Здесь любое подмножество $A$ компактно. Действительно, возьмём из покрытия одно непустое множество $U$ . Оно содержит всё, кроме конечного числа точек, и оставшиеся точки $A$ покрываем по одной. А замкнуты в этой топологии только конечные множества и вся прямая. Так что, например, отрезок $[0, 1]$ здесь компактен, но не замкнут.

Теперь закроем первый долг. Образ отрезка при непрерывной функции $f\colon [a, b] \to \mathbb{R}$ компактен (урок «Компактность», 3.2), а прямая хаусдорфова. Значит, образ замкнут. Дело не в отрезке, а в компактности.

Задача. Какие утверждения верны для любых топологических пространств?

Объединение двух компактных подмножеств компактно
Компактное подмножество замкнуто
Если $X$ компактно, а $f\colon X \to Y$ непрерывна и сюръективна, то $Y$ компактно
Если $f\colon X \to Y$ непрерывна и $K \subset Y$ компактно, то $f^{-1}(K)$ компактно
Пересечение компактного и замкнутого множеств компактно

Разбор

Для объединения: из покрытия выбираем конечную часть для первого множества и конечную для второго. Сюръективный непрерывный образ компактен по утверждению из урока «Компактность» (3.2). Пересечение $K \cap F$ замкнуто в подпространстве $K$ , а замкнутое в компакте компактно.

Второе требует хаусдорфовости, контрпример — конечно-дополнительная топология. Четвёртое неверно даже на прямой: прообраз точки $0$ при постоянном отображении $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ равен всей прямой.

Непрерывная инъекция компакта

Соберём три утверждения в цепочку: замкнутое в компакте компактно, образ компакта компактен, компакт в хаусдорфовом замкнут. Получается главная теорема урока.

Теорема (инъекция компакта в хаусдорфово).

Пусть $X$ компактно, $Y$ хаусдорфово, а $f\colon X \to Y$ непрерывно и инъективно. Тогда $f$ — гомеоморфизм $X$ на образ $f(X)$ .

Схема доказательства

Нужно проверить, что обратное отображение $f(X) \to X$ непрерывно, то есть что $f$ переводит замкнутые множества в замкнутые. Замкнутое $F \subset X$ компактно, его образ $f(F)$ компактен, а компакт в хаусдорфовом пространстве замкнут.

Доказательство

Обозначим $Z = f(X)$ и $g = f^{-1}\colon Z \to X$ . Отображение $f\colon X \to Z$ — непрерывная биекция, и остаётся проверить непрерывность $g$ . Для этого достаточно, чтобы прообраз каждого замкнутого $F \subset X$ был замкнут в $Z$ .

Прообраз $g^{-1}(F)$ — это $f(F)$ . Множество $F$ компактно как замкнутое подмножество компакта, $f(F)$ компактно как непрерывный образ компакта. Подпространство $Z$ хаусдорфова пространства хаусдорфово, а значит, $f(F)$ замкнуто в $Z$ как компакт в хаусдорфовом пространстве.

Самый частый случай — биекция. Если $f\colon X \to Y$ непрерывна и биективна, то $f(X) = Y$ , и теорема говорит: непрерывная биекция компакта на хаусдорфово пространство — гомеоморфизм. Это то же самое утверждение, просто без слов «на образ».

В доказательстве инъективность нужна только в конце. Без неё рассуждение всё равно показывает, что непрерывное отображение компакта в хаусдорфово пространство замкнуто: переводит замкнутые множества в замкнутые.

Теперь понятно, что случилось с отображением $t \mapsto (\cos t, \sin t)$ из $[0, 2\pi)$ на окружность. Оно непрерывно и биективно, но $[0, 2\pi)$ не компактен, и теорема не работает. Если взять отрезок $[0, 2\pi]$ , отображение перестанет быть инъективным: концы перейдут в одну точку. Ровно эту склейку концов мы научимся делать в уроке про фактор-пространства.

Ещё одно следствие: если окружность непрерывно и инъективно отобразить в плоскость, образ гомеоморфен окружности, какой бы запутанной ни была кривая.

Задача. Какие непрерывные отображения заведомо гомеоморфизмы на образ?

Непрерывная биекция $[0, 1] \to [0, 1]$
Любая непрерывная биекция $[0, 2\pi) \to S^1$
Непрерывная инъекция $S^1 \to \mathbb{R}^3$
Тождественное отображение из $[0, 1]$ в $[0, 1]$ с антидискретной топологией
Тождественное отображение из $[0, 1]$ с дискретной топологией в обычный $[0, 1]$

Разбор

Первое и третье — прямо по теореме: слева компакт, справа хаусдорфово пространство.

Второе неверно: пример $t \mapsto (\cos t, \sin t)$ . Полуинтервал не компактен, и теорема не применяется.

В четвёртом случае отображение непрерывно (в антидискретную топологию непрерывно всё), но не гомеоморфизм: обратное переводит открытое $[0, 1/2)$ в неоткрытое. Слева компакт, но справа нет хаусдорфовости. В пятом справа хаусдорфово пространство, но слева бесконечное дискретное пространство, а оно не компактно. Обратное отображение не непрерывно: точка открыта слева, но не справа.

Полнота

Теперь займёмся метрическими пространствами и найдём признак компактности, который легко проверять. Для него понадобится понятие из анализа, которого в курсе ещё не было. Пусть $(X, \rho)$ — метрическое пространство.

Определение (полнота).

Последовательность $x_1, x_2, \dots$ фундаментальная, если её члены неограниченно сближаются: для любого $\varepsilon > 0$ найдётся $N$ , после которого $\rho(x_n, x_m) < \varepsilon$ при всех $n, m \ge N$ . Пространство полное, если в нём каждая фундаментальная последовательность сходится.

Сходящаяся последовательность всегда фундаментальна: если $x_n \to x$ , то $\rho(x_n, x_m) \le \rho(x_n, x) + \rho(x, x_m)$ . Обратное верно не всегда. Полнота означает, что в пространстве нет «дыр», к которым последовательность стремится, но не может прийти.

Прямая полна, это критерий Коши из анализа. Плоскость и $\mathbb{R}^n$ тоже: у фундаментальной последовательности фундаментальна каждая координата, а сходимость в $\mathbb{R}^n$ покоординатная.
Интервал $(0, 1)$ не полон: последовательность $1/n$ фундаментальна, но её предел $0$ в интервал не входит.
$\mathbb{Q}$ не полно: десятичные приближения $1; 1{,}4; 1{,}41; \dots$ к $\sqrt2$ фундаментальны, но рационального предела у них нет.

Полнота, как и ограниченность, зависит от метрики, а не только от топологии: $(0, 1)$ и $\mathbb{R}$ гомеоморфны, но прямая полна, а интервал нет. Внутри полного пространства полнота подмножества — это просто замкнутость.

Утверждение (полные подмножества).

Подмножество $A$ полного пространства $X$ полно тогда и только тогда, когда оно замкнуто.

Доказательство

Пусть $A$ замкнуто, и $(a_n)$ — фундаментальная последовательность в $A$ . В $X$ она сходится к какой-то точке $x$ . Это точка прикосновения $A$ , а $A$ замкнуто, значит, $x \in A$ .

Пусть $A$ полно, и $x$ — точка прикосновения $A$ . Возьмём $a_n \in A$ с $\rho(a_n, x) < 1/n$ . Эта последовательность сходится к $x$ , значит, фундаментальна, и по полноте $A$ сходится к какой-то точке $a \in A$ . Предел единственен, поэтому $x = a \in A$ .

Например, отрезок, окружность, канторово множество полны как замкнутые подмножества $\mathbb{R}$ или $\mathbb{R}^2$ .

Ограниченности мало

Какие метрические пространства компактны? Первое необходимое условие видно сразу. Пространство ограничено, если оно лежит в каком-то шаре.

Утверждение (компакт ограничен).

Компактное метрическое пространство ограничено.

Доказательство

Зафиксируем точку $a$ . Шары $B(a, 1), B(a, 2), B(a, 3), \dots$ покрывают $X$ : любая точка лежит на конечном расстоянии от $a$ . Выберем конечное подпокрытие. Шары вложены, поэтому $X$ лежит в самом большом из выбранных.

Вместе с замкнутостью получается гипотеза: может быть, компакт — это то же, что замкнутое ограниченное множество? Для $\mathbb{R}^n$ так и окажется. Но в общем случае ограниченности и замкнутости не хватает, и вот два примера. Оба пространства полны, так что дело и не в полноте.

Пространство последовательностей. Рассмотрим ограниченные последовательности $x = (x_1, x_2, x_3, \dots)$ с метрикой

\rho(x, y) = \sup_k |x_k - y_k|.

Это прямое продолжение max-метрики из урока про произведения (3.1) на бесконечное число координат. Возьмём последовательности

e_1 = (1, 0, 0, \dots), \quad e_2 = (0, 1, 0, \dots), \quad e_3 = (0, 0, 1, \dots), \quad \dots

У $e_n$ и $e_m$ при $n \ne m$ различаются ровно две координаты, и в каждой разница равна $1$ . Поэтому $\rho(e_n, e_m) = 1$ .

Множество $E = \{e_1, e_2, \dots\}$ ограничено: все его точки на расстоянии $1$ от нуля. Оно замкнуто: шар радиуса $1/2$ вокруг любой точки задевает не больше одной точки $E$ , поэтому точек прикосновения, кроме самих $e_n$ , нет. Но $E$ не компактно: шары $B(e_n, 1/2)$ покрывают $E$ , каждый содержит ровно одну его точку, и ни один нельзя выбросить.

Почему пространство ограниченных последовательностей полно

Пусть $x^{(1)}, x^{(2)}, \dots$ — фундаментальная последовательность последовательностей. Для каждой координаты $|x^{(n)}_k - x^{(m)}_k| \le \rho(x^{(n)}, x^{(m)})$ , так что числа $x^{(n)}_k$ при фиксированном $k$ образуют фундаментальную последовательность и сходятся к какому-то $x_k$ .

Проверим, что $x = (x_1, x_2, \dots)$ — предел. Возьмём $\varepsilon > 0$ и $N$ такое, что $\rho(x^{(n)}, x^{(m)}) < \varepsilon$ при $n, m \ge N$ . Тогда $|x^{(n)}_k - x^{(m)}_k| < \varepsilon$ для всех $k$ . Переходя к пределу по $m$ , получаем $|x^{(n)}_k - x_k| \le \varepsilon$ для всех $k$ и $n \ge N$ . Значит, $x$ ограничена (она отличается от ограниченной $x^{(N)}$ не больше чем на $\varepsilon$ ) и $\rho(x^{(n)}, x) \le \varepsilon$ при $n \ge N$ .

Парижская метрика. Вспомним парижскую метрику из урока «Зоопарк метрик» (1.4) и возьмём окружность $S$ радиуса $1$ с центром в Париже $P$ . Любые две её точки лежат на разных лучах, и расстояние между ними равно $1 + 1 = 2$ . Шар $B(x, 1/2)$ вокруг точки $x \in S$ — это отрезок её луча, он не задевает других точек $S$ .

Окружность $S$ ограничена (лежит в шаре радиуса $2$ вокруг $P$ ) и замкнута. Замкнутость видна так: парижское расстояние не меньше евклидова, поэтому каждое множество, открытое в обычной топологии плоскости, открыто и в парижской. Дополнение $S$ открыто в обычной топологии, значит, и в парижской. Но покрытие $S$ шарами $B(x, 1/2)$ нельзя уменьшить вообще: каждый шар нужен для своей точки.

Почему парижская плоскость полна

Пусть $(x_n)$ фундаментальна. Если начиная с какого-то номера все её члены лежат на одном луче, то на этом луче метрика обычная, последовательность фундаментальна в обычном смысле и сходится к точке луча (луч вместе с $P$ замкнут в плоскости).

Иначе для любого $N$ после $N$ есть члены на разных лучах. Возьмём $\varepsilon > 0$ и $N$ из определения фундаментальности. Для любого $n \ge N$ найдётся $m \ge N$ на другом луче, и $|x_n - P| + |P - x_m| = \rho(x_n, x_m) < \varepsilon$ . Значит, $\rho(x_n, P) = |x_n - P| < \varepsilon$ при $n \ge N$ , и $x_n \to P$ .

В обоих примерах беда одинаковая: бесконечно много точек, далёких друг от друга. Каждой нужна своя окрестность, и конечным числом не обойтись. В $\mathbb{R}^n$ так не бывает: ограниченный кусок пространства не вмещает бесконечно много точек на расстоянии $1$ друг от друга. Это и надо превратить в определение.

Вполне ограниченность

Определение (вполне ограниченность).

Метрическое пространство $X$ вполне ограничено, если для каждого $\varepsilon > 0$ его можно покрыть конечным числом шаров радиуса $\varepsilon$ . Центры этих шаров называют конечной ε-сетью: каждая точка $X$ находится на расстоянии меньше $\varepsilon$ от одной из них.

Ограниченность говорит, что пространство помещается в один большой шар. Вполне ограниченность говорит больше: при любом масштабе $\varepsilon$ пространство выглядит конечным, если не различать точки ближе $\varepsilon$ .

Ограниченное множество в $\mathbb{R}^n$ вполне ограничено. Оно лежит в каком-то кубе, а куб режется на конечное число маленьких кубиков со стороной меньше $\varepsilon/\sqrt n$ . Каждый кубик, задевающий множество, лежит в шаре радиуса $\varepsilon$ вокруг любой своей точки множества.
Множество $E = \{e_n\}$ не вполне ограничено. Шар радиуса $1/2$ содержит не больше одной точки $E$ , и конечного числа таких шаров не хватит.
Окружность $S$ в парижской метрике не вполне ограничена по той же причине.
Вполне ограниченное пространство ограничено: конечное число шаров радиуса $1$ лежит в одном большом шаре.

Утверждение (компакт вполне ограничен).

Компактное метрическое пространство вполне ограничено.

Доказательство

Шары $B(x, \varepsilon)$ по всем точкам $x \in X$ покрывают $X$ . Выберем конечное подпокрытие, его центры и есть конечная ε-сеть.

Задача. Какие подмножества вполне ограничены?

Интервал $(0, 1)$ на прямой
Целые числа $\mathbb{Z}$
Множество $\{1/n : n \ge 1\}$
Множество $E = \{e_n\}$ в пространстве ограниченных последовательностей
Множество $\{e_n / n\}$ в том же пространстве

Разбор

Интервал и $\{1/n\}$ ограничены в $\mathbb{R}$ , а значит, вполне ограничены.

$\mathbb{Z}$ даже не ограничено. С $E$ мы разобрались выше.

А $\rho(e_n / n, 0) = 1/n$ : точки $e_n / n$ стремятся к нулю. Для данного $\varepsilon$ все точки с $1/n < \varepsilon$ лежат в шаре $B(0, \varepsilon)$ , а остальных конечное число.

Обратите внимание на интервал: он вполне ограничен, но не компактен. Значит, одной вполне ограниченности мало, нужна ещё полнота.

Критерий компактности

Мы уже знаем, что компакт вполне ограничен. Ниже проверим, что он ещё и полон. Оказывается, вместе эти два необходимых условия уже достаточны.

Теорема (критерий компактности).

Метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда оно полно и вполне ограничено.

Следствие.

Подмножество полного метрического пространства компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и вполне ограничено.

Следствие получается сразу: для подмножества полного пространства полнота — это замкнутость. Им удобно пользоваться на практике, потому что пространства, внутри которых мы работаем ( $\mathbb{R}^n$ , пространство последовательностей), полны.

Вполне ограниченность компакта мы уже доказали. Полнота тоже проверяется в пару строк.

Компакт полон

Пусть $(x_n)$ фундаментальна, но не сходится. Покажем, что у каждой точки $a \in X$ есть шар, в котором лежит лишь конечное число членов последовательности.

Раз $x_n \not\to a$ , найдётся $\varepsilon > 0$ такое, что $\rho(x_n, a) \ge \varepsilon$ для бесконечно многих $n$ . По фундаментальности найдётся $N$ с $\rho(x_n, x_m) < \varepsilon/2$ при $n, m \ge N$ . Если бы какой-то член $x_m$ с $m \ge N$ попал в шар $B(a, \varepsilon/2)$ , то все $x_n$ с $n \ge N$ лежали бы ближе чем на $\varepsilon$ к $a$ , а это не так. Значит, в $B(a, \varepsilon/2)$ лежат только члены с номерами меньше $N$ .

Такие шары покрывают $X$ . Выберем конечное подпокрытие: в каждом из выбранных шаров конечное число членов, а значит, и во всём $X$ . Но членов последовательности бесконечно много. Противоречие.

Главное — достаточность. Её доказательство повторяет компактность отрезка из урока «Компактность» (3.2). Там мы делили отрезок пополам и выбирали «плохую» половину. Здесь половинок нет, зато есть конечные сети, и вместо половины отрезка мы выбираем плохой шар вдвое меньшего радиуса.

Схема доказательства

От противного. Пусть у покрытия нет конечного подпокрытия. Покроем $X$ конечным числом шаров радиуса $1/2$ , один из них плохой. Его покрывают конечное число шаров радиуса $1/4$ , и опять один плохой. Так получаются плохие шары с радиусами $1/2, 1/4, 1/8, \dots$ , соседние пересекаются. Их центры сближаются, и последовательность центров фундаментальна. По полноте она сходится к точке $c$ . Точка $c$ лежит в каком-то множестве $U$ покрытия, и маленький шар около $c$ целиком лежит в $U$ , хотя должен быть плохим.

Полное вполне ограниченное пространство компактно

Пусть $\{U_\alpha\}$ — открытое покрытие $X$ без конечного подпокрытия. Назовём множество плохим, если его нельзя покрыть конечным числом $U_\alpha$ . Объединение конечного числа хороших множеств хорошее, поэтому если плохое множество разбито на конечное число частей, то одна из частей плохая.

Построим шары $B_k = B(c_k, 2^{-k})$ так, чтобы пересечения $A_k = B_1 \cap \dots \cap B_k$ были плохими. Пусть $A_0 = X$ , оно плохое. Если $A_{k-1}$ плохое, возьмём конечную $2^{-k}$ -сеть пространства $X$ . Шары радиуса $2^{-k}$ с центрами в ней покрывают $A_{k-1}$ , их конечное число, значит, для одного из них, назовём его $B_k$ , пересечение $A_k = A_{k-1} \cap B_k$ плохое.

Плохое множество непусто, поэтому $B_k \cap B_{k+1} \supset A_{k+1}$ содержит какую-то точку $y$ , и

\rho(c_k, c_{k+1}) \le \rho(c_k, y) + \rho(y, c_{k+1}) < 2^{-k} + 2^{-k-1} < 2^{-k+1}.

Складывая такие оценки, при $m > k$ получаем $\rho(c_k, c_m) < 2^{-k+1} + 2^{-k} + \dots < 2^{-k+2}$ . Значит, центры образуют фундаментальную последовательность, и по полноте $c_k \to c$ . Переходя к пределу, $\rho(c_k, c) \le 2^{-k+2}$ .

Точка $c$ лежит в каком-то $U_\alpha$ , и $B(c, \varepsilon) \subset U_\alpha$ для некоторого $\varepsilon > 0$ . Возьмём $k$ с $2^{-k} + 2^{-k+2} < \varepsilon$ . Для любой $y \in B_k$ имеем $\rho(y, c) \le \rho(y, c_k) + \rho(c_k, c) < 2^{-k} + 2^{-k+2} < \varepsilon$ , так что $B_k \subset U_\alpha$ . Тогда и $A_k \subset B_k$ покрыто одним множеством $U_\alpha$ , а мы выбирали его плохим. Противоречие.

Где использовались условия? Вполне ограниченность дала конечное число шаров на каждом шаге, чтобы выбрать плохой. Полнота дала точку $c$ , к которой стягиваются шары. В $(0, 1)$ шары могут стянуться к нулю, которого нет, а в пространстве последовательностей не найдётся конечного числа маленьких шаров, из которых можно выбирать.

Задача. Какие множества компактны?

Множество $E = \{e_n\}$ в пространстве ограниченных последовательностей
Множество $\{0\} \cup \{e_n / n\}$ в том же пространстве
Полуинтервал $(0, 1]$
Замкнутый единичный круг с центром в Париже в парижской метрике
Канторово множество

Разбор

$E$ не вполне ограничено. Множество $\{0\} \cup \{e_n / n\}$ вполне ограничено (разобрали в прошлом квизе) и замкнуто: точки $e_n / n$ сходятся к нулю, и других точек прикосновения нет. Пространство полное, работает следствие.

$(0, 1]$ вполне ограничено, но не полно: $1/n$ не сходится в нём.

Круг содержит окружность $S$ , замкнутую и не компактную. Если бы круг был компактен, то и $S$ была бы компактна как замкнутое подмножество компакта.

Канторово множество замкнуто в полной прямой и ограничено, а значит, вполне ограничено.

Гейне–Борель

В $\mathbb{R}^n$ ограниченность и вполне ограниченность совпадают, и критерий превращается в знаменитую теорему.

Теорема (Гейне–Борель).

Подмножество $\mathbb{R}^n$ компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и ограничено.

Доказательство

Пространство $\mathbb{R}^n$ полно, а ограниченные подмножества $\mathbb{R}^n$ вполне ограничены. Применяем следствие критерия.

Теперь компактность в $\mathbb{R}^n$ проверяется глазами. Сфера $S^{n-1}$ , замкнутый шар, тор в $\mathbb{R}^3$ , канторово множество — компакты. Прямая, открытый шар, гипербола — нет. А теорема Вейерштрасса из прошлого урока даёт, что непрерывная функция на сфере или на замкнутом шаре достигает максимума.

Задача. Какие множества компактны?

Окружность $x^2 + y^2 = 1$ в $\mathbb{R}^2$
Гипербола $xy = 1$ в $\mathbb{R}^2$
Множество $\{(x, y) : x^4 + y^4 \le 1\}$
Открытый шар в $\mathbb{R}^3$
$\{(x, y, z) : x^2 + y^2 + z^2 = 1,\ z \ge 0\}$

Разбор

Окружность, «скруглённый квадрат» $x^4 + y^4 \le 1$ и полусфера замкнуты (это прообразы замкнутых множеств при непрерывных функциях) и ограничены.

Гипербола замкнута, но не ограничена. Открытый шар ограничен, но не замкнут.

Осталось закрыть долги.

Тор. Квадрат $[0, 2\pi]^2$ замкнут и ограничен в $\mathbb{R}^2$ , а значит, компактен. Отображение $(a, b) \mapsto \big((\cos a, \sin a), (\cos b, \sin b)\big)$ из него на $S^1 \times S^1$ непрерывно (непрерывны обе координаты, урок про произведения (3.1)) и сюръективно. Значит, тор $S^1 \times S^1$ компактен как образ компакта. В уроке про произведения (3.1) мы построили непрерывную биекцию тора на поверхность бублика в $\mathbb{R}^3$ , а $\mathbb{R}^3$ хаусдорфово. По теореме об инъекции компакта это гомеоморфизм.

График $\sin(1/x)$ . Замыкание графика $\sin(1/x)$ на $(0, 1]$ — это график вместе с отрезком $\{0\} \times [-1, 1]$ . Оно замкнуто и ограничено в $\mathbb{R}^2$ , а значит, компактно. Полуинтервал не компактен, поэтому они не гомеоморфны.

Что получилось

Замкнутое в компакте компактно, а компакт в хаусдорфовом пространстве замкнут. Без хаусдорфовости второе неверно: в конечно-дополнительной топологии компактно всё.
Непрерывная инъекция компакта в хаусдорфово пространство — гомеоморфизм на образ. В частности, непрерывная биекция компакта на хаусдорфово пространство — гомеоморфизм.
Полнота: фундаментальные последовательности сходятся. Внутри полного пространства полнота подмножества равносильна замкнутости.
Ограниченности и замкнутости мало: множество $\{e_n\}$ последовательностей и окружность в парижской метрике. Правильное условие — вполне ограниченность: конечная ε-сеть для каждого $\varepsilon$ .
Критерий: метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда оно полно и вполне ограничено. Достаточность доказывается вложенными шарами, как компактность отрезка.
Гейне–Борель: в $\mathbb{R}^n$ компактны ровно замкнутые ограниченные множества. Отсюда тор гомеоморфен бублику, а замыкание графика $\sin(1/x)$ не гомеоморфно полуинтервалу.

В анализе у отрезка есть ещё одно знаменитое свойство — теорема Больцано–Вейерштрасса о сходящейся подпоследовательности. В следующем уроке посмотрим, как оно связано с компактностью, а заодно взглянем на компактность через произведения и через замкнутые множества.