Компактность · Введение в топологию

С конечными множествами работать легко. У конечного набора чисел есть наибольшее. Пересечение конечного числа открытых множеств открыто, а бесконечного — уже не обязательно. Объединение конечного числа ограниченных множеств ограничено. Рассуждение «разберём каждый элемент по очереди» заканчивается, потому что элементов конечно много. С бесконечными множествами все эти приёмы ломаются.

Но бывают бесконечные пространства, которые в важном смысле ведут себя как конечные: там, где в рассуждении возникает бесконечно много объектов, можно обойтись конечным числом из них. Это свойство называется компактностью. Почти все её применения устроены одинаково:

про каждую точку известно что-то локальное, то есть верное в её окрестности;
окрестностей бесконечно много, но компактность позволяет оставить конечное число;
для конечного числа окрестностей локальные факты склеиваются в глобальный.

Вот типичный пример из анализа: непрерывная на отрезке функция ограничена. Непрерывность — свойство локальное: рядом с каждой точкой $x$ функция почти равна $f(x)$ , поэтому на каком-то интервале $I_x$ вокруг $x$ выполнено $|f| < |f(x)| + 1$ . Отрезок покрыт интервалами $I_x$ , и на каждом из них $f$ ограничена. Но интервалов бесконечно много, и общей оценки из этого не следует: максимума бесконечного набора чисел $|f(x)| + 1$ может не быть. Если бы удалось обойтись конечным числом интервалов $I_{x_1}, \dots, I_{x_n}$ , оценка нашлась бы сразу: $|f| < \max_i |f(x_i)| + 1$ .

На интервале $(0, 1)$ это не работает: $f(x) = 1/x$ непрерывна и не ограничена. Интервалы $I_x$ у нуля становятся всё короче, и конечного числа не хватает. Посмотрите, как одна лишняя точка $0$ всё меняет.

Покрытия и компактность

Определение (покрытие).

Покрытие множества $X$ — это семейство множеств $\{U_\alpha\}$ , объединение которых содержит $X$ . Покрытие открытое, если все $U_\alpha$ открыты. Подпокрытие — часть семейства, которая тоже покрывает $X$ .

Определение (компактность).

Топологическое пространство $X$ компактно, если из любого его открытого покрытия можно выбрать конечное подпокрытие.

Определение говорит ровно то, что нам нужно: любое бесконечное семейство открытых множеств, покрывающее $X$ , можно заменить конечным. Этим приёмом мы закроем три долга прошлых уроков: первый в этом уроке, остальные в следующем.

До сих пор мы не умеем доказывать, что отрезок не гомеоморфен прямой.
В уроке про непрерывность и подпространства (2.3) мы видели, что непрерывная функция может перевести замкнутое множество в незамкнутое, но обещали объяснить, почему образ отрезка всё-таки замкнут.
В уроке про гомеоморфизм (2.4) непрерывная биекция $[0, 2\pi) \to S^1$ оказалась не гомеоморфизмом, и мы обещали случай, когда непрерывность обратного проверять не нужно. А в уроке про произведения (3.1) так и не доказали, что тор $S^1 \times S^1$ гомеоморфен бублику.

Подмножество $K \subset X$ называется компактным, если оно компактно как подпространство. Открытые множества подпространства — это следы $U \cap K$ открытых множеств $X$ (урок про непрерывность и подпространства, 2.3), поэтому проверять удобно так: $K$ компактно, если из любого семейства открытых в $X$ множеств, покрывающего $K$ , можно выбрать конечное, тоже покрывающее $K$ .

Важно слово «любого». Чтобы доказать компактность, надо справиться с каждым покрытием. Чтобы опровергнуть, достаточно предъявить одно плохое.

Конечное множество компактно: из каждого покрытия возьмём по одному множеству на точку.
Прямая не компактна: из покрытия интервалами $(-n, n)$ конечное подпокрытие не выбрать, его объединение — интервал $(-N, N)$ .
Интервал $(0, 1)$ не компактен: покрытие $(1/n, 1)$ из интерактива.
Бесконечное дискретное пространство не компактно: покрытие одноточиями нельзя уменьшить вообще.
Последовательность с пределом $\{0\} \cup \{1/n : n \ge 1\}$ компактна. Множество покрытия, содержащее $0$ , содержит и интервал вокруг нуля, а значит, все точки $1/n$ , кроме конечного числа. Остальные покрываются по одной. Без точки $0$ множество $\{1/n\}$ — это бесконечное дискретное пространство, и оно не компактно.

Последний пример — тот же сюжет, что в интерактиве: компактность ломается там, где пространству не хватает предельной точки.

Задача. Какие подмножества прямой компактны?

$\{1, 2, 3\}$
$\mathbb{Z}$
$[0, +\infty)$
$\{0\} \cup \{1/n : n \ge 1\}$
$\{1/n : n \ge 1\}$
$[0, 1)$

Разбор

Конечное множество компактно, а последовательность с пределом мы разобрали выше. Целые числа — бесконечное дискретное подпространство. Луч $[0, +\infty)$ покрыт интервалами $(-1, n)$ без конечного подпокрытия. А $[0, 1)$ покрыт множествами $(-1, 1 - 1/n)$ , и конечное число из них покрывает только $(-1, 1 - 1/N)$ .

Отрезок компактен

Это главный пример компакта, и на нём держится всё остальное. Доказательство использует лемму о вложенных отрезках из анализа: у последовательности вложенных отрезков $[a_1, b_1] \supset [a_2, b_2] \supset \dots$ есть общая точка, а если длины стремятся к нулю, то ровно одна.

Теорема (компактность отрезка).

Отрезок $[a, b]$ компактен.

Схема доказательства

От противного. Если у покрытия нет конечного подпокрытия, то одна из половин отрезка тоже «плохая»: иначе две конечных подсистемы вместе покрыли бы весь отрезок. Делим плохую половину снова и снова. Отрезки стягиваются к точке $c$ , она лежит в каком-то множестве $U$ покрытия. А $U$ открыто, и маленький отрезок вокруг $c$ целиком в нём. Он покрыт одним множеством, хотя был плохим.

Доказательство

Пусть $\{U_\alpha\}$ — открытое покрытие $[a, b]$ , из которого нельзя выбрать конечное подпокрытие. Назовём отрезок плохим, если его нельзя покрыть конечным числом $U_\alpha$ . Отрезок $[a, b]$ плохой.

Пусть $[a_n, b_n]$ плохой, и $m$ — его середина. Если бы обе половины $[a_n, m]$ и $[m, b_n]$ были хорошими, то объединение двух конечных наборов покрыло бы $[a_n, b_n]$ . Значит, одна половина плохая, назовём её $[a_{n + 1}, b_{n + 1}]$ . Так получаются вложенные плохие отрезки $[a_n, b_n]$ длины $(b - a)/2^n$ .

По лемме о вложенных отрезках у них есть общая точка $c \in [a, b]$ . Она лежит в каком-то $U_\alpha$ , а $U_\alpha$ открыто, так что $(c - \varepsilon, c + \varepsilon) \subset U_\alpha$ для некоторого $\varepsilon > 0$ . Возьмём $n$ с $(b - a)/2^n < \varepsilon$ . Отрезок $[a_n, b_n]$ содержит $c$ и короче $\varepsilon$ , поэтому лежит в $(c - \varepsilon, c + \varepsilon) \subset U_\alpha$ . Он покрыт одним множеством, а мы считали его плохим. Противоречие.

Где использовалось, что концы отрезка входят в него? В том, что точка $c$ лежит в $[a, b]$ , а значит, её покрывает какое-то $U_\alpha$ . У $(0, 1)$ вложенные отрезки могут стянуться к нулю, которого в пространстве нет. Это ровно та дыра, которую мы видели в интерактиве.

Образ компакта

Первая теорема почти ничего не требует, но сразу даёт много компактов и закрывает один долг.

Утверждение (образ компакта).

Непрерывный образ компактного пространства компактен: если $X$ компактно и $f\colon X \to Y$ непрерывно, то $f(X)$ компактно.

Схема доказательства

Покрытие образа тянем назад прообразами, получаем покрытие $X$ . Там выбираем конечное подпокрытие и несём его обратно вперёд.

Доказательство

Пусть открытые $V_\alpha$ покрывают $f(X)$ . Тогда прообразы $f^{-1}(V_\alpha)$ открыты и покрывают $X$ . Выберем конечное подпокрытие $f^{-1}(V_{\alpha_1}), \dots, f^{-1}(V_{\alpha_n})$ . Тогда $V_{\alpha_1}, \dots, V_{\alpha_n}$ покрывают $f(X)$ : каждая точка $f(x)$ лежит в том $V_{\alpha_i}$ , для которого $x \in f^{-1}(V_{\alpha_i})$ .

Отсюда следует, что компактность — топологическое свойство: гомеоморфные пространства компактны одновременно. А значит, отрезок не гомеоморфен ни прямой, ни интервалу, ни полуинтервалу: отрезок компактен, а они нет. Долг из урока про гомеоморфизм (2.4) закрыт.

Заодно у нас появилось много новых компактов. Окружность $S^1$ — образ отрезка $[0, 2\pi]$ при $t \mapsto (\cos t, \sin t)$ , поэтому компактна. Компактен график $\{(x, \sin x) : x \in [0, 100]\}$ — образ отрезка при $x \mapsto (x, \sin x)$ . И вообще любая кривая, которую можно пройти за конечное время.

Задача. Что следует из утверждения про образ компакта?

Окружность $S^1$ не гомеоморфна прямой
Отрезок $[0, 1]$ не гомеоморфен полуинтервалу $[0, 1)$
Интервал $(0, 1)$ не гомеоморфен прямой
Парабола $y = x^2$ в $\mathbb{R}^2$ не компактна
Не существует непрерывной сюръекции $[0, 1] \to \mathbb{R}$

Разбор

Окружность и отрезок компактны как образы отрезка, а прямая и полуинтервал нет. Сюръекция отрезка на прямую сделала бы прямую компактной.

Парабола: проекция $(x, y) \mapsto x$ непрерывна и переводит параболу на всю прямую. Если бы парабола была компактна, то и прямая тоже.

А интервал и прямая гомеоморфны (урок про гомеоморфизм, 2.4), и оба не компактны. Компактность их не различает.

Теорема Вейерштрасса

Вернёмся к ограниченности функций, с которой начался урок, и сделаем по схеме «локальное, конечное, глобальное».

Теорема (Вейерштрасс).

Непрерывная функция $f\colon K \to \mathbb{R}$ на компактном пространстве $K$ ограничена и достигает своих наибольшего и наименьшего значений.

Схема доказательства

Ограниченность. Множества $\{|f| < n\}$ открыты и покрывают $K$ . Конечное число из них покрывает $K$ , и самое большое $n$ из выбранных даёт оценку.

Максимум. Пусть $M = \sup f$ не достигается. Тогда каждая точка лежит в каком-то множестве $\{f < M - 1/n\}$ . Конечное число таких множеств покрывает $K$ , и $f < M - 1/N$ всюду. Но тогда $M$ не точная верхняя грань.

Доказательство

Множества $U_n = f^{-1}\big((-n, n)\big)$ , $n = 1, 2, \dots$ , открыты как прообразы открытых и покрывают $K$ : каждое значение $f(x)$ лежит в каком-то $(-n, n)$ . По компактности хватает конечного числа $U_{n_1}, \dots, U_{n_k}$ . Они вложены, поэтому $K = U_N$ для $N = \max_i n_i$ , то есть $|f| < N$ всюду.

Пусть $M = \sup_K f$ , он конечен по доказанному. Предположим, что $f(x) < M$ для всех $x$ . Тогда множества $V_n = f^{-1}\big((-\infty, M - 1/n)\big)$ открыты и покрывают $K$ : если $f(x) < M$ , то $f(x) < M - 1/n$ для большого $n$ . Конечное число из них покрывает $K$ , и опять они вложены, так что $K = V_N$ для некоторого $N$ . Значит, $f < M - 1/N$ на всём $K$ , и $M - 1/N$ — верхняя грань меньше точной. Противоречие. Для минимума применяем то же к $-f$ .

Обратите внимание, что отрезок в доказательстве нигде не участвует. Функция на окружности, на графике синуса, на последовательности с пределом тоже достигает максимума. Дело не в отрезке, а в компактности.

Без компактности теорема ломается в обе стороны: $1/x$ на $(0, 1]$ не ограничена, а $x$ на $(0, 1)$ ограничена, но наибольшего значения не достигает. В доказательстве это видно: на $(0, 1)$ множества $V_n = (0, 1 - 1/n)$ покрывают интервал, но никакое конечное число не покрывает.

Задача. Какие функции заведомо достигают наибольшего значения?

$f(x, y) = x^3 - y$ на окружности $x^2 + y^2 = 1$
$f(x) = x^2$ на прямой
$f(x) = x$ на $(0, 1)$
$f(x) = |x - 1/2|$ на множестве $\{0\} \cup \{1/n : n \ge 1\}$
$f(x) = -1/x$ на $[1, +\infty)$

Разбор

Окружность и последовательность с пределом компактны, функции на них непрерывны.

$x^2$ на прямой не ограничена. Для $x$ на $(0, 1)$ и $-1/x$ на $[1, +\infty)$ супремум (равный $1$ и $0$ ) не достигается.

Что получилось

Компактность: из любого открытого покрытия выбирается конечное. Она позволяет заменить бесконечно много объектов конечным числом и так превращает локальные свойства в глобальные.
Отрезок компактен. Доказательство делением пополам и вложенными отрезками.
Образ компакта компактен. Поэтому компактность — топологическое свойство, и отрезок не гомеоморфен прямой.
Вейерштрасс: непрерывная функция на компакте ограничена и достигает максимума и минимума.

В теореме Вейерштрасса работает схема из начала урока: локальный факт про окрестность каждой точки, конечное подпокрытие, глобальный факт.

Пока компактов у нас мало: конечные множества, отрезок и непрерывные образы отрезка. В следующем уроке ответим на вопрос, какие ещё пространства компактны. Разберёмся, как компактность дружит с замкнутостью и хаусдорфовостью, найдём критерий компактности в метрических пространствах и докажем теорему, которая закроет оставшиеся долги про тор и $[0, 2\pi)$ .